מידת דיראק
במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.
הגדרה
בהינתן מרחב מדיד ואיבר , מידת דיראק המתאימה ל- מסומנת על ידי ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי :
כאשר היא הפונקציה המציינת של .
מידת דיראק היא מידה אטומית, ו- הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה כמעט בוודאות במרחב המדגם . מידות דיראק הן נקודות הקצה (אנ') של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על .
מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:
אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:
תכונות
יהי מרחב מדיד ותהי מידת דיראק שמרכזה .
- מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית.
נניח ש- הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).
- מידה חיובית ממש אם ורק אם שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה . לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית .
- מכיוון ש- מידת הסתברות, היא מידה סופית-מקומית (אנ').
- אם הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז היא מידה רגולרית פנימית (אנ'), משום שיחידון כמו הוא תמיד קומפקטי.
- בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש- קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז היא גם מידה רגולרית חיצונית (אנ').
- במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו.
- אם סגורה, אז התומך של הוא (אחרת, התומך הוא הסגור של ב-). בנוסף, היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא .
- היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי .
הכללות
מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.
קישורים חיצוניים
- Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
- Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.
37216179מידת דיראק