מידה סינגולרית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, זוג מידות על מרחב מדיד כלשהו יקראו מידות סינגולריות אם ניתן לפרק את המרחב כך שהאחת מתאפסת בקבוצה מדידה כלשהי והשניה בקבוצה המשלימה לה.^[1] בכזה מקרה, כל אחת מהמידות תקרא סינגולרית ביחס לשנייה.

חשיבותן של מידות סינגולריות בתורת המידה היא בהיותן דרך טבעית לפרק פונקציית מידה לזוג פונקציות על תתי-מרחבים מדידים. בשל כך, משפטים רבים מתייחסים לפירוק של מידות לזוג מידות סינגולריות כגון משפט הפירוק של ז'ורדן ומשפט הפירוק של לבג.

הגדרה מתמטית

בהינתן מרחב מדיד $(\Omega ,\Sigma )$ וזוג מידות על מרחב זה $\mu ,\nu$ , מידות אלו יקראו מידות סינגולריות (או בנוסח אחר, $\mu$ סינגולרית ביחס ל- $\nu$ ), אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה $A\in \Sigma$ כך ש:

$\mu (A)=0$
$\nu (\Omega \backslash A)=0$

ומסמנים $\mu \perp \nu$ . עבור המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ עם סיגמא-אלגברת בורל, מידה על $\mu$ על $\mathbb {R} ^{n}$ תקרא מידה סינגולרית אם היא סינגולרית ביחס למידת לבג.

תכונות

בגלל המונוטוניות והחיוביות של פונקציית המידה, אם מידה מתאפסת על קבוצה כלשהי היא בהכרח מתאפסת על כל תת-הקבוצות שלה. על כן, על-פי ההגדרה של מידות סינגולריות, $\mu$ ו- $\nu$ מתאפסות על כל תת-קבוצה של $A$ ו- $\Omega \backslash A$ בהתאמה.
סינגולריות היא יחס סימטרי: אם $\mu$ סינגולרית ביחס ל- $\nu$ אז בהכרח $\nu$ סינגולרית ביחס ל- $\mu$ .
על פי משפט הפירוק של ז'ורדן, כל מידה מסומנת ניתנת להצגה כהפרש של זוג מידות חיוביות סינגולריות זו ביחס לזו.
על פי משפט הפירוק של לבג, בהינתן זוג מידות $\mu ,\nu$ על מרחב מדיד כלשהו, ניתן לפרק את $\mu$ ל- $\mu =\mu _{\text{cont}}+\mu _{\text{singular}}$ כך ש- $\mu _{\text{cont}}$ רציפה בהחלט ביחס ל- $\nu$ ו- $\mu _{\text{singular}}$ סינגולרית ביחס ל- $\nu$ .

מידה סינגולרית רציפה

בהינתן מרחב $\mathbb {R} ^{n}$ עם סיגמא-אלגברת בורל ומידה $\mu$ , המידה $\mu$ תקרא מידה סינגולרית רציפה אם ורק אם היא סינגולרית ביחס למידת לבג ה- $n$ ממדית ואין לה אטומים.

חשיבותן של מידות סינגולריות רציפות בא לידי ביטוי במשפט הפירוק של לבג עבור מידות על סיגמא-אלגברת בורל, אשר טוען כי כל מידה $\mu$ כלשהי על מרחב $\mathbb {R} ^{n}$ וסיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק $\mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{cs}+\mu _{a}$ כך ש:

$\mu _{\text{ac}},\mu _{cs},\mu _{a}$ סינגולריות אחת ביחס לשניה
$\mu _{\text{ac}}$ רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
$\mu _{cs}$ סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
$\mu _{a}$ מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

הכללה למידות מסומנות ומרוכבות

ניתן להכליל את ההגדרה של מידות סינגולריות למידות מסומנות ומידות מרוכבות באופן הבא: בהינתן מרחב מדיד $(\Omega ,\Sigma )$ וזוג מידות מסומנות (מרוכבות) על מרחב זה $\mu ,\nu$ , מידות אלו יקראו מידות סינגולריות אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה $A\in \Sigma$ כך ש:

$\mu (B)=0$ לכל $\Sigma \ni B\subseteq A$
$\nu (B)=0$ לכל $\Sigma \ni B\subseteq \Omega \backslash A$

יש לשים לב כי עבור מידות מסומנות (מרוכבות) יש לדרוש התאפסות על כל תת-קבוצה מדידה של $A$ ו- $\Omega \backslash A$ ולא רק עליהן בעצמן, זאת מכיוון שמידות מסומנות אינן בהכרח מונוטוניות.

דוגמאות

המידה הטריוויאלית (מידה המתאפסת לכל קבוצה מדידה) סינגולרית ביחס לכל מידה אחרת.
מידת דיראק היא מידה סינגולרית (ביחס למידת לבג).
כל מידה בדידה (סכום בן מניה של פונקציות דלתא של דיראק) היא מידה סינגולרית (ביחס למידת לבג).
ניתן לבנות מידת הסתברות $\mu$ על הקטע $[0,1]$ כך שהמידה של קבוצת קנטור תהיה ממידה 1 ופונקציית ההתפלגות שלה $c(x):=\mu ([0,x])$ תהיה פונקציית קנטור. מידה זו נוצרת על-ידי תהליך ברנולי עם $p={\frac {1}{2}}$ . מאחר וקבוצת קנטור היא ממידה 0 לפי מידת לבג קל להוכיח כי מידה זו סינגולרית רציפה.
אם מסמנים ב- $\lambda _{1},\lambda _{2}$ את מידות לבג על $\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2}$ בהתאמה ניתן להגדיר את המידה הדו-ממדית $\mu$ כך שלכל קבוצה מדידה $B$ ב- $\mathbb {R} ^{2}$ מתקיים $\mu (B):=\lambda _{1}(\{x\in \mathbb {R} \mid (x,0)\in B\})$ . כלומר, המידה $\mu$ מתאפסת על כל המרחב מלבד על ציר ה- $x$ . זוהי מידה סינגולרית רציפה ביחס ל- $\lambda _{2}$ .
בהינתן פונקציית מידה $\mu$ וקבוצה מדידה $A$ , המידות $\mu _{1}(B):=\mu (B\cap A)$ ו- $\mu _{2}(B):=\mu (B\backslash A)$ הן מידות סינגולריות אחת ביחס לשנייה, וכמו כן $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$ .