משפט הפירוק של לבג

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.

המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.

ניסוח פורמלי

בהינתן מרחב מדיד $(\Omega ,\Sigma )$ ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב $\mu ,\nu$ , אזי קיימות זוג מידות על המרחב $\nu _{\text{cont}},\nu _{\text{sing}}$ כך ש:^[1]

$\nu =\nu _{\text{cont}}+\nu _{\text{sing}}$ .
$\nu _{\text{cont}}\ll \mu$ . כלומר, $\nu _{\text{cont}}$ רציפה בהחלט ביחס ל $\mu$ .
$\nu _{\text{sing}}\perp \mu$ . כלומר, $\nu _{\text{sing}}$ סינגולרית ביחס ל $\mu$ .

יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.

תקציר ההוכחה

עבור מידה סופית

במקרה שבו $\nu$ היא מידה סופית, מגדירים:^[2]

${\mathcal {L}}:=\left\{f:\Omega \to [0,\infty )\mid \forall A\in \Sigma ,\int _{A}{fd\mu }\leq \nu (A)\right\}$

ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל- ${\mathcal {L}}$ קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב- $z$ . בגלל סופיות המידה $\mu$ , בהכרח מתקיים כי $z$ מקבלת את הערך $\infty$ עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל- $\mu$ ). כמו כן, לכל $f\in {\mathcal {L}}$ מתקיים כי $f\leq z$

כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל- $\mu$ ). לכל $A\in \Sigma$ מגדירים:

$\nu _{\text{cont}}(A):=\int _{A}{zd\mu }$
$\nu _{\text{sing}}(A):=\nu (A)-\nu _{\text{cont}}(A)$ .

מובן כי:

$\nu =\nu _{\text{cont}}+\nu _{\text{sing}}$
$\nu _{\text{cont}}\ll \mu$ , (מתכונות אינטגרל לבג).

נותר רק להוכיח כי $\nu _{\text{sing}}\perp \mu$ . לכל $n\in \mathbb {N}$ מגדירים $\lambda _{n}:=\nu _{\text{sing}}-{\frac {1}{n}}\mu$ . זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית $P_{n}\in \Sigma$ כך ש- $\Omega \backslash P_{n}$ היא קבוצה שלילית. מגדירים $P:=\bigcup _{n}{P_{n}}$ . לכל $n_{0}\in \mathbb {N}$ מתקיים $\Omega \backslash P=\Omega \backslash \bigcup _{n}{P_{n}}=\bigcap _{n}{\Omega \backslash P_{n}}\subseteq \Omega \backslash P_{n_{0}}$ . לכן:

$\nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)-{\frac {1}{n_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)=\lambda _{n_{0}}(\Omega \backslash P)\leq 0\implies \nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)\leq {\frac {1}{n_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)$

הדבר נכון לכל $n_{0}\in \mathbb {N}$ , לכן בהכרח $\nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0$ . עבור כל $n\in \mathbb {N}$ מגדירים:

$z_{n}(x):={\begin{cases}z(x)+{\frac {1}{n}},&{\text{if }}x\in P_{n}\\z(x),&{\text{else}}\end{cases}}$

בגלל החיובית של $P_{n}$ ניתן להוכיח כי $z_{n}\in {\mathcal {L}}$ . מצד שני, בגלל המקסימליות של $z$ , מחויב כי $\mu (P_{n})=0$ . הדבר נכון לכל $n\in \mathbb {N}$ , לכן בהכרח $\mu (P)=\mu \left(\bigcup _{n}{P_{n}}\right)=0$ . התקבל אפוא כי $\nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0$ ו- $\mu (P)=0$ , לכן $\nu _{\text{sing}}\perp \mu$ . מ.ש.ל.

עבור מידה סיגמא-סופית

במקרה שבו $\nu$ היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב $\Omega$ לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה $\nu$ היא סופיות $\left\{C_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ . לכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $A\in \Sigma$ מגדירים

$\mu _{n}(A):=\mu (A\cap C_{n})$ ו-
$\nu _{n}(A):=\nu (A\cap C_{n})$ .

ברור כי $\nu _{n}$ מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור $\mu _{n},\nu _{n}$ , לפרק אותה ל- $\nu _{\text{cont}}^{n},\nu _{\text{sing}}^{n}$ כתוצאת המשפט. מגדירים:

$\nu _{\text{cont}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu _{\text{cont}}^{n}}$

$\nu _{\text{sing}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu _{\text{sing}}^{n}}$

ניתן להוכיח כי $\nu _{\text{cont}},\nu _{\text{sing}}$ הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל.

פירוק מידות לפי מידת לבג

ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה $\mu$ המוגדרת על המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק

$\mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{cs}+\mu _{a}$ כך ש:

$\mu _{\text{ac}},\mu _{cs},\mu _{a}$ סינגולריות אחת ביחס לשנייה
$\mu _{\text{ac}}$ רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
$\mu _{cs}$ סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
$\mu _{a}$ מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)

הכללות והרחבות

הכללה למידות מסומנות ומרוכבות

משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.

על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.

משפט רדון-ניקודים

ערך מורחב – משפט רדון־ניקודים

בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:

במקרה שבו $\nu \ll \mu$ , לפי משפט הפירוק של לבג $\nu _{\text{sing}}=\nu -\nu _{\text{cont}}$ , אבל במקרה זה $\nu _{\text{sing}}$ היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל- $\mu$ , לכן אף היא רציפה ביחס ל- $\mu$ . מקבלים אם כן כי $\nu _{\text{sing}}$ היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר $\nu =\nu _{\text{cont}}$ . כזכור, $\nu _{\text{cont}}$ נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה $z:\Omega \to [0,\infty ]$ כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.