בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים.
המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג.
ניסוח פורמלי
בהינתן מרחב מדיד
ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב
, אזי קיימות זוג מידות על המרחב
כך ש:[1]
.
. כלומר,
רציפה בהחלט ביחס ל
.
. כלומר,
סינגולרית ביחס ל
.
יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד.
תקציר ההוכחה
עבור מידה סופית
במקרה שבו
היא מידה סופית, מגדירים:[2]
ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל-
קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב-
. בגלל סופיות המידה
, בהכרח מתקיים כי
מקבלת את הערך
עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל-
). כמו כן, לכל
מתקיים כי
כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל-
). לכל
מגדירים:

.
מובן כי:

, (מתכונות אינטגרל לבג).
נותר רק להוכיח כי
. לכל
מגדירים
. זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית
כך ש-
היא קבוצה שלילית. מגדירים
. לכל
מתקיים
. לכן:
הדבר נכון לכל
, לכן בהכרח
. עבור כל
מגדירים:
בגלל החיובית של
ניתן להוכיח כי
. מצד שני, בגלל המקסימליות של
, מחויב כי
. הדבר נכון לכל
, לכן בהכרח
. התקבל אפוא כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu_\text{sing}(\Omega \backslash P)=0}
ו-
, לכן
. מ.ש.ל.
עבור מידה סיגמא-סופית
במקרה שבו
היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב
לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה
היא סופיות
. לכל
ולכל
מגדירים
ו-
.
ברור כי
מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור
, לפרק אותה ל-
כתוצאת המשפט. מגדירים:
ניתן להוכיח כי
הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל.
פירוק מידות לפי מידת לבג
ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה
המוגדרת על המרחב
לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק
כך ש:
סינגולריות אחת ביחס לשנייה
רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)
הכללות והרחבות
הכללה למידות מסומנות ומרוכבות
משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות.
על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד.
משפט רדון-ניקודים
ערך מורחב – משפט רדון־ניקודים
בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה:
במקרה שבו
, לפי משפט הפירוק של לבג
, אבל במקרה זה
היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל-
, לכן אף היא רציפה ביחס ל-
. מקבלים אם כן כי
היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר
. כזכור,
נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה
כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים.
באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים.
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
משפט הפירוק של לבג37068676Q191693