מטריצת אדמר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
גילברט סטרנג מדגים את השערת אדמר ב- MIT ב-2005, באמצעות בניה של סילבסטר.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מטריצת אדמר, הנקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר, היא מטריצה ריבועית שערכיה הם או או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} ושורותיה אורתוגונליות זו לזו. במונחים גאומטריים, זה אומר שהשורות במטריצת אדמר מייצגות וקטורים מאונכים זה לזה. במונחים קומבינטוריים, זה אומר שלכל שתי שורות יש ערכים שווים בדיוק בחצי מהעמודות שלהם וערכים שונים בעמודות הנותרות. ניתן להראות כתוצאה, שהמאפיינים שתוארו לגבי השורות נכונים גם עבור עמודות המטריצה.

המקבילון ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי הנפרש על ידי השורות של מטריצת אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1), יש את הנפח ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי המקסימלי האפשרי עבור כל המקבילונים ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדיים הנפרשים על ידי וקטורים אשר הערך המוחלט של כל רכיביהם קטן או שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} . באופן שקול ניתן לומר כי הערך המוחלט של הדטרמיננטה של מטריצת אדמר הוא המקסימלי האפשרי מבין המטריצות מאותו הסדר אשר הערך המוחלט של כל ערכיהן קטן או שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} . לכן מטריצת אדמר מהווה גם פתרון של בעיית הדטרמיננטה המקסימלית של אדמר.

ניתן להשתמש במטריצות אדמר מסוימות כקוד תיקון שגיאות באמצעות קוד אדמר (מקרה פרטי של קודי ריד-מולר (אנ')), וגם בסטטיסטיקה בניתוח מדגמים בשיטה של שכפול חוזר מאוזן (אנ')..

תכונות

נתונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} מטריצת אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . המטריצה המשוחלפת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} קשורה קשר הדוק למטריצה ההופכית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H H^\textsf{T} = n I_n}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_n} היא מטריצת היחידה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^T} הוא המטריצה המשוחלפת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} . כדי לראות שזה נכון, שימו לב שהשורות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} הן וקטורים אורתוגונליים מעל שדה המספרים הממשיים ולכל אחד מהם יש אורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{n}} . מחלוקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} באורך זה מתקבלת מטריצה אורתוגונלית שהמטריצה המשוחלפת שלה היא גם המטריצה ההופכית שלה. מכאן מתקבל השוויון למעלה. כתוצאה מכך נקבל,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,\operatorname{det}(H) = \pm\, n^{n/2}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{det}(H)} היא הדטרמיננטה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} .

נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} היא מטריצה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} עם ערכים מרוכבים שערכם המוחלט קטן או שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left |M_{i,j}\right |\leq 1} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\leq i,j \leq n} , אז מאי-שוויון אדמר נובע:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .|\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}}

שוויון מתקבל עבור מטריצה ממשית M אם ורק אם M היא מטריצת אדמר.

הסדר של מטריצת אדמר חייב להיות 1, 2 או כפולה של 4.[1]

דוגמאות למטריצות אדמר נבנו לראשונה על ידי ג'יימס ג'וזף סילבסטר ב-1867. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} היא מטריצת אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} אז המטריצה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} H & H\\ H & -H \end{bmatrix}}

היא מטריצת אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2n} . ניתן ליישם זאת שוב ושוב ומתקבלת סדרת המטריצות הבאה, הנקראת גם מטריצות וולש .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} H_1 &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ H_2 &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ H_4 &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{align}}

ו-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{2^k} = \begin{bmatrix} H_{2^{k-1}} & H_{2^{k-1}}\\ H_{2^{k-1}} & -H_{2^{k-1}} \end{bmatrix} = H_2 \otimes H_{2^{k-1}} }

לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \le k \in N } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \otimes } מסמן את מכפלת קרונקר.

למעשה, בשיטה זו, סילבסטר הראה שניתן לקבל מטריצות אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^k } עבור כל מספר שלם לא שלילי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} .[2]

למטריצות של סילבסטר יש את התכונות הבאות. הן סימטריות וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>1} למטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{2^k}} עקבה אפס. הערכים בעמודה הראשונה ובשורה הראשונה חיוביים ובכל השורות והעמודות האחרות יש מספר שווה של ערכים חיוביים ושליליים. מטריצות סילבסטר קשורות קשר הדוק עם פונקציות וולש.

בנייה חלופית

אם נמפה את הערכים של מטריצת אדמר באמצעות הומומורפיזם של חבורות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1, -1, \times\} \mapsto \{0, 1, \oplus\} } , נוכל לתאר בנייה חלופית של מטריצות אדמר של סילבסטר. ראשית נגדיר את סדרת המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n } מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\times 2^n } באופן רקורסיבי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} F_1 &= \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} \\ F_n &= \begin{bmatrix} 0_{1\times 2^{n-1}} & 1_{1\times 2^{n-1}} \\ F_{n-1} & F_{n-1} \end{bmatrix} \end{align}}

ניתן להראות באמצעות אינדוקציה שהתמונה של מטריצת אדמר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{2^n}} תחת ההומורפיזם הנ"ל ניתנת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n^\textsf{T} F_n} . בנייה זו מדגימה כי שורות מטריצת אדמר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{2^n} } ניתן לראות כקוד תיקון שגיאות ליניארי באורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n } , בדרגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , מרחק מינימלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{n-1} } ועם מטריצה יוצרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n } .

קוד זה מכונה גם קוד Walsh. לעומתו קוד אדמר, מסתמך על מטריצת אדמר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_{2^n} } באופן שונה.

השערת אדמר

  הבעיה הפתוחה החשובה ביותר בתורת המטריצות של אדמר היא שאלה של קיום. לפי השערת אדמר, מטריצת אדמר מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4k } קיימת עבור כל מספר שלם חיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} . השערת אדמר יוחסה גם לפיילי, אם כי היא עלתה באופן עקיף גם בעבודות של אחרים שקדמו לפיילי.[3]

הכללה של הבנייה של סילבסטר מוכיחה שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_m} הם מטריצות אדמר מסדרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} בהתאמה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n \otimes H_m} היא מטריצת אדמר בסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle nm} .

הבנייה של סילבסטר משנת 1867 מניבה מטריצות אדמר בסדר 1, 2, 4, 8, 16, 32 וכו'. אדמר בנה מטריצות אדמר מסדר 12 ו-20 בשנת 1893.[4] בשנת 1933, ריימונד פיילי הראה כיצד לבנות מטריצת אדמר לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} שהוא חזקה טבעית של מספר ראשוני. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מתחלק ל-4 עם שארית 3 אז למטריצת אדמר המתקבלת יש סדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q+1} ; אחרת, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} מתחלק ל-4 אם שארית 1 אז מטריצת אדמר המתקבלת היא מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2(q+1)} .[5] השיטה של פיילי מסתמכת על שדות סופיים.

הסדר הקטן ביותר שלא ניתן למצוא עבורו מטריצת אדמר בשילוב של השיטות של סילבסטר ופיילי הוא 92. מטריצת אדמר מסדר זה נמצאה באמצעות מחשב על ידי באומרט, גולומב והול בשנת 1962 ב-JPL.[6] הם השתמשו בשיטה המיוחסת לוויליאמסון[7] והניבה גם מטריצות אדמר מסדרים נוספים. כיום ידועות שיטות רבות אחרות לבניית מטריצות אדמר.

בשנת 2005 פרסמו האדי חראגאני ובהרוז טייפה-רזאי בנייה של מטריצת אדמר מסדר 428.[8] כתוצאה מכך, הסדר הקטן ביותר שעבורו לא ידועה כיום מטריצת אדמר הוא 668.

נכון ל-2014 ישנם 12 סדרים (מתחלקים ב-4) שהם קטנים מ-2000 ולא ידועות מטריצות אדמר מסדרים אלו.[9] הסדרים הם: 668, 716, 892, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948 ו-1964.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא מטריצת אדמר בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ↑ "Hadamard Matrices and Designs" (PDF). UC Denver. נבדק ב-11 בפברואר 2023. {{cite web}}: (עזרה)
  2. ↑ J.J. Sylvester. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers. Philosophical Magazine, 34:461–475, 1867
  3. ↑ Hedayat, A.; Wallis, W. D. (1978). "Hadamard matrices and their applications". Annals of Statistics. 6 (6): 1184–1238. doi:10.1214/aos/1176344370. JSTOR 2958712..
  4. ↑ Hadamard, J. (1893). "Résolution d'une question relative aux déterminants". Bulletin des Sciences Mathématiques. 17: 240–246.
  5. ↑ Paley, R. E. A. C. (1933). "On orthogonal matrices". Journal of Mathematics and Physics. 12 (1–4): 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311.
  6. ↑ Baumert, L.; Golomb, S. W.; Hall, M. Jr. (1962). "Discovery of an Hadamard Matrix of Order 92". Bulletin of the American Mathematical Society. 68 (3): 237–238. doi:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7.
  7. ↑ Williamson, J. (1944). "Hadamard's determinant theorem and the sum of four squares". Duke Mathematical Journal. 11 (1): 65–81. doi:10.1215/S0012-7094-44-01108-7.
  8. ↑ Kharaghani, H.; Tayfeh-Rezaie, B. (2005). "A Hadamard matrix of order 428". Journal of Combinatorial Designs. 13 (6): 435–440. doi:10.1002/jcd.20043.
  9. ↑ Đoković, Dragomir Ž; Golubitsky, Oleg; Kotsireas, Ilias S. (2014). "Some new orders of Hadamard and Skew-Hadamard matrices". Journal of Combinatorial Designs. 22 (6): 270–277. doi:10.1002/jcd.21358.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצת אדמר38781459Q1422682

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=מטריצת_אדמר&oldid=3293869"