אינוולוציה (תורת החוגים)
בתורת החוגים, אינוולוציה על חוג R היא אנטי-אוטומורפיזם מסדר 2, כלומר העתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma : R \rightarrow R} המקיימת את התכונות הבאות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(x+y) = \sigma(x)+\sigma(y)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(xy) = \sigma(y)\sigma(x)} , ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma\sigma(x)=x} לכל x,y בחוג.
אינוולוציה על חוג קומוטטיבי אינה אלא אוטומורפיזם מסדר 2 לכל היותר, ובאופן כללי צמצום האינוולוציה למרכז של R משרה אוטומורפיזם מסדר 2 לכל היותר.
אינוולוציות של אלגברות פשוטות
חוג שאין לו אידיאלים הנשמרים תחת האינוולוציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma} נקרא חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\sigma} -פשוט. לכל אידיאל I, החיתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I \cap \sigma(I)} נשמר תחת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma} , ולכן חוג הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} -פשוט אם ורק אם הוא פשוט במובן הרגיל, או שהוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S \times S} עם האינוולוציה המוגדרת לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tau(x,y) = (y,x)} , כאשר S עצמו פשוט.
כאשר R אלגברה פשוטה המרכז שלה הוא שדה. ממיינים את האינוולוציות לשני סוגים, לפי הפעולה שלהם על המרכז:
- האינוולוציה היא מסוג ראשון אם הפעולה על המרכז טריוויאלית,
- ומסוג שני אם הפעולה על המרכז אינה טריוויאלית; במקרה זה יש למרכז תת-שדה, ממימד 2, שהפעולה עליו טריוויאלית.
לדוגמה, פעולת השחלוף של מטריצות היא אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות. הפעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a \mapsto a^*} , המעתיקה מטריצה למטריצה הצמודה, היא אינוולוציה מסוג שני של אלגברת המטריצות מעל המרוכבים, המשרה את הצמוד המרוכב כאוטומורפיזם של המרכז.
תהי R אלגברה עם אינוולוציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\mapsto x^*} . האלגברה איזוטרופית אם קיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \neq a \in R} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^*a=0} , והיפרבולית אם יש לה אידיאל ימני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I^{\perp} = I} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I^{\perp} = \{x\in R: x^*I=0\}} .
מאינוולוציה נתונה אפשר ליצור אינוולוציות חדשות: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\mapsto x^*} אינוולוציה של R, אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u\in R} הפיך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \mapsto u x^*u^{-1}} היא אנטי-אוטומורפיזם, וזו אינוולוציה אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u^*u^{-1}} הוא איבר מרכזי. כשהאינוולוציה מסוג ראשון, התנאי הזה מכריח את u להיות סימטרי או אנטי-סימטרי. מעובדה זו נובע שכל אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות צמודה לאחת משתי אינוולוציות: השחלוף ("האינוולוציה האורתוגונלית" של המטריצות), והאינוולוציה הסימפלקטית (הקיימת רק בממד זוגי). בעקבות כך אפשר למיין את האינוולוציות מסוג ראשון של אלגברה מדרגה סופית לשני טיפוסים, לפי התנהגות האינוולוציה לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול: האינוולוציה היא מטיפוס אורתוגונלי אם היא נעשית אורתוגונלית, ומטיפוס סימפלקטי אם היא נעשית סימפלקטית. אינוולוציה מסוג שני נקראת תמיד מטיפוס אוניטרי. (מטריצה המקיימת את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u^*u=1} נקראת אורתוגונלית עבור האינוולוציה האורתוגונלית, ואוניטרית עבור האינוולוציה האוניטרית).
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma_1,\sigma_2} הן אינוולוציות על האלגברות הפשוטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_1,A_2} (שמרכזן המשותף F), כך שאם שתיהן מסוג שני אז הן משמרות את אותו תת-שדה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma_1 \otimes \sigma_2} היא אינוולוציה של המכפלה הטנזורית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_1 \otimes_F A_2} ; מסוג ראשון אם לשתי האינוולוציות אותו סוג, ומסוג שני אחרת. אם שתי האינוולוציות מאותו סוג, אז המכפלה היא מטיפוס אורתוגונלי אם שתיהן מאותו טיפוס, ומטיפוס סימפלקטי אחרת.
אינוולוציות ותבניות ביליניאריות
כל תבנית ביליניארית לא מנוונת על מרחב וקטורי V (מממד סופי) מגדירה אנטי-אוטומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \mapsto A^*} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{End}(V)} , לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,A^*y) = (Ax,y)} . זוהי אינוולוציה אם התבנית סימטרית או אנטי-סימטרית, הרמיטית או אנטי-הרמיטית. האינוולוציה מסוג ראשון אם התבנית סימטרית או אנטי-סימטרית, ומסוג שני אם היא הרמיטית או אנטי-הרמיטית.
אינוולוציה (תורת החוגים)22538903Q2836000