מכפלה וקטורית

במתמטיקה ובפיזיקה, מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור (בניגוד למכפלה הסקלרית שמחזירה סקלר). הווקטור המוחזר תמיד ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.

הגדרה פורמלית

תיאור גרפי של מכפלה וקטורית. ניתן לראות כי וקטור התוצאה (הסגול) ניצב לשני וקטורים המוכפלים, ולכן גם למישור המכיל אותם. בנוסף ניתן לראות כי כאשר הופכים את סדר המכפלה, מתקבל וקטור זהה בגודלו והפוך בכיוונו.

יהיו שני וקטורים ${\vec {A}},{\vec {B}}$, אז מכפלתם הווקטורית (שמסומנת ב-$\ \times$) תוגדר כ:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times\vec B=\hat n|A||B|\sin\theta}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \theta} היא הזווית (בין 0° ל-180°) שבין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A,\vec B} במישור המכיל את שניהם, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat n} הוא וקטור יחידה, שמאונך למישור הנקבע על ידי שני הווקטורים. חשוב לשים לב כי המכפלה הווקטורית בין שני וקטורים שונים מאפס מתאפסת אם ורק אם הם מקבילים (בניגוד למכפלה סקלרית, בה המכפלה מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים).

כיוונו של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat n} נקבע על פי כלל היד הימנית המוגדר באופן הבא: אם מכופפים את כף יד ימין בצורת חצי עיגול, כך שהיא מתווה מעגל בכיוון של הווקטור הראשון במכפלה אל עבר הווקטור השני במכפלה דרך הזווית הקטנה שביניהם, האגודל מצביע בכיוון של וקטור התוצאה.

ניתן להגדיר מכפלה וקטורית באופן שקול על ידי הגדרת הכפל על וקטורי היחידה. בשלושה ממדים, וקטורי היחידה מוכפלים כך:

$\ {\hat {x}}\times {\hat {y}}=-{\hat {y}}\times {\hat {x}}={\hat {z}}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat y \times \hat z = - \hat z \times \hat y = \hat x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat z \times \hat x = - \hat x \times \hat z = \hat y}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat x \times \hat x = \hat y \times \hat y = \hat z \times \hat z = 0}

ולכן, מתקבל כי באופן כללי, שני וקטורים נכפלים כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec A \times \vec B = (A_x,A_y,A_z)\times (B_x,B_y,B_z)=(A_yB_z-A_zB_y,A_z B_x-A_x B_z, A_x B_y-A_y B_x)} .

חוק היד הימנית. אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה.

בעזרת מכפלה סקלרית, קל לוודא כי וקטור התוצאה ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.

עוד דרכים לחשב את כיוון הווקטור:

• כלל הבורג - אם מסובבים בורג בעל תבריג ימני, כך שכיוון סיבובו מתווה את הכיוון מהווקטור הראשון לווקטור השני, וקטור התוצאה נקבע על פי כיוון ההתקדמות של הבורג (קדימה או אחורה).

• דרך נוספת היא על ידי כיפוף אצבעות יד ימין כך שהאגודל מזדקר מעלה, האצבע נשארת זקופה, והאמה מכופפת בזווית של 90 מעלות. כעת, אם מתאימים את האצבעות כך שהאגודל הוא בכיוון הווקטור הראשון ואילו האצבע בכיוון הווקטור השני, האמה תצביע בכיוון וקטור התוצאה.

תכונות המכפלה הווקטורית

• מכיוון שכיוון הווקטור תלוי בסדר הופעת האיברים במכפלה, המכפלה אינה קומוטטיבית, אך היא אנטי-קומוטטיבית, כלומר מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times\vec B=-\vec B\times\vec A} .
• מכפלה ווקטורית אינה אסוציאטיבית, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec A\times (\vec B \times\vec C)\ne( \vec A\times \vec B) \times\vec C} . לכן, ללא סוגריים, הביטוי $\ {\vec {A}}\times {\vec {B}}\times {\vec {C}}$ לא מוגדר.
• המכפלה הווקטורית דיסטריבוטיבית מעל החיבור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times\left(\vec B+\vec C\right)=\vec A\times\vec B+\vec A\times\vec C} .
• המכפלה הומוגנית ביחס לכפל בסקלר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\lambda\vec A\right)\times\vec B=\vec A\times\left(\lambda\vec B\right)=\lambda\left(\vec A\times\vec B\right)} .
• כפל של שני וקטורים שכיוונם זהה, או שכיווניהם מנוגדים, מחזיר 0.
• "באץ מינוס צאב" ("BAC minus CAB"): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B) } .
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\vec A\times\vec B)\times\vec C = -\vec C\times(\vec A\times\vec B) =(\vec A\cdot\vec C)\vec B - (\vec B\cdot\vec C)\vec A}
• המכפלה הווקטורית מקיימת את זהות יעקובי: ${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})+{\vec {B}}\times ({\vec {C}}\times {\vec {A}})+{\vec {C}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=0$
• גם אם עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec A\ne0} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec A\times \vec B=\vec A\times \vec C} לא ניתן להסיק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec B=\vec C} , אלא רק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A} מקביל ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B- \vec C} . לעומת זאת, אם לכל וקטור ${\vec {A}}$ מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec A\times \vec B=\vec A\times \vec C} , אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B= \vec C} .

שימושים

שימושים מתמטיים

• מציאת אנך למישור. כאמור, מכפלה וקטורית של שני וקטורים בת"ל מחזירה וקטור המאונך לשניהם. ישר המאונך לשני ישרים במישור, מאונך למישור הנוצר על ידם ולכן מכפלה וקטורית של שני וקטורים במישור תניב וקטור שלישי המאונך לכל וקטור במישור. וקטור זה נקרא וקטור המקדמים של המישור.
• מציאת שטח מקבילית במרחב - גודלו של וקטור המכפלה הפנימית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times\vec B} שווה לשטח המקבילית הנוצרת על ידי הווקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B} .
• מציאת שטח משולש במרחב.
• מציאת היטל וקטור אחד על אחר.
• מציאת נפח מקבילון במרחב.
• מציאת מרחק נקודה מישר במרחב.

שימושים פיזיקליים

• כשמפעילים כוח על גוף צפיד, השינוי בתנע הזוויתי שלו נקבע על ידי מומנט הכוח שנתון על ידי מכפלה וקטורית של וקטור המיקום שלו בווקטור הכוח המופעל עליו.
• כשחלקיק טעון נע בתוך שדה מגנטי, הכוח שמפעיל עליו השדה פרופורציונלי למכפלה וקטורית של וקטור המהירות בווקטור השדה (כוח לורנץ).
• בגלים אלקטרומגנטיים, וקטור פוינטינג הוא מכפלה וקטורית בין שדה חשמלי לשדה מגנטי. הוא מייצג את שטף האנרגיה של הגל וכיוונו זהה לכיוון וקטור גל.

תיאור על פי וקטורי יחידה

כאמור, לעיתים קרובות נוח יותר לחשב את המכפלה הווקטורית באמצעות הצגת הווקטורים המוכפלים על ידי וקטורי יחידה, כלומר:

$\!\,{\vec {A}}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \vec B=B_x\hat x+B_y\hat y+B_z\hat z}

לאחר חישוב ישיר, ניתן לקבל כי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \vec A\times\vec B=(A_yB_z-A_zB_y)\hat x+(A_zB_x-A_xB_z)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z} .

קל יותר לזכור צורה זו על ידי כתיבת הדטרמיננטה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A\times\vec B= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ \end{vmatrix}}

כאשר הדטרמיננטה מפותחת על פי השורה הראשונה.

חשוב להדגיש שהשימוש בדטרמיננטה כאן הוא רק בתור סימון שמטרתו להקל על זכירת הנוסחה, ואין מדובר בדטרמיננטה אמיתית: המטריצה איננה מעל השדה שבו אנו עוסקים, והתוצאה איננה סקלר כמו בדטרמיננטה רגילה אלא וקטור.

הכללה ל-n ממדים

את המכפלה הווקטורית ניתן לכתוב בצורה טנזורית בצורה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}A_jB_k }
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \epsilon_{ijk}} - טנזור לוי-צ'יוויטה, הוא טנזור אנטי סימטרי לחלוטין, שערך כל איבר בו הוא 1 אם סדר האינדקסים הוא ציקלי, 1- אם הסדר הוא אנטי ציקלי, ואפס במקרה אחר (כלומר אם אינדקס חוזר פעמיים). האינדקסים i,j,k רצים על מספר הממדים (1,2,3 או x,y,z). הגדרה זו ניתן להרחיב למספר ממדים כלשהו:
$C_{i_{3}\ldots i_{n}}=\sum _{i_{1}=1}^{n}\sum _{i_{2}=1}^{n}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{n}}A_{i_{1}}B_{i_{2}}$

• בשני ממדים מתקבל טנזור בלי אינדקסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C= A_x B_y - A_y B_x } , לכן לכאורה הוא סקלר.
• בשלושה ממדים מתקבל טנזור עם אינדקס אחד, לכן לכאורה הוא וקטור.
• בארבעה ממדים מתקבל טנזור עם שני אינדקסים.
• באופן כללי ב-n ממדים מתקבל טנזור עם n-2 ממדים.

דבר זה מרמז לנו שגם בשלושה ממדים התוצאה של כפל שני וקטורים אינה וקטור, כי אם פסאודו וקטור. השרירותיות של כיוון התוצאה גם היא דומה לשרירותיות בכיוון של הפסאודו-וקטור. לעומת זאת מכפלה וקטורית של וקטור ופסאודו וקטור תיתן וקטור.

ראו גם

• מרחב וקטורי
• מכפלה סקלרית (מכפלה מסוג שונה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^3} )
• מכפלה מעורבת (מכפלה סקלרית של וקטור במכפלה וקטורית של שני וקטורים אחרים).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מכפלה וקטורית בוויקישיתוף

• מכפלה וקטורית, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24555783מכפלה וקטורית