טרקטריקס

עקום טרקטריקס. העצם ממוקם בתחילה ב-(4,0)

טרקטריקס (אנגלית: Tractrix) הוא עקומה לאורכה נע עצם כאשר הוא נמשך על גבי מישור אופקי על ידי קטע ישר המחובר בקצהו השני לנקודה הנעה (מושכת) לאורך קו ישר המאונך לקו ההתחלתי המחבר בין הנקודה המושכת והעצם. זהו על כן סוג של עקום מרדף.

הוא הוצג לראשונה על ידי Claude Perrault ב-1670, ונחקר מאוחר יותר על ידי אייזק ניוטון ב-1676 וכריסטיאן הויגנס ב-1692.

שם העקומה נגזר מהפועל הלטיני "trahere", שפירושו למשוך או לגרור.

גזירה מתמטית

יצירת טרקטריקס באמצעות גרירת עצם

נניח כי העצם ממוקם ב-$(a,0)$ והנקודה המושכת היא בראשית, כך ש-$a$ הוא אורך המוט המושך. הנקודה המושכת מתחילה לנוע לאורך הכיוון החיובי בציר $y$ .

בכל רגע, המוט יהיה משיק לעקום $y=y(x)$ שמתאר העצם, כך שמסלולו הופך תלוי לגמרי בתנועה של הנקודה המושכת.

כיוון שגם אורך המוט קבוע בערכו ושווה ל-$a$ , אז מקבלים מתמטית כי מסלול העצם מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}$

יחד עם תנאי ההתחלה $y(a)=0$ . פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הוא:

${\begin{aligned}y=\int \limits _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\pm {\Bigg (}a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right)-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{\Bigg )}\end{aligned}}$

כאשר האבר הראשון בפתרון הזה ניתן לכתיבה גם: $a\,{\text{arsech}}\left({\frac {x}{a}}\right)$ .

הענף השלילי של הפתרון מייצג את המקרה שבו הנקודה המושכת נעה בכיוון השלילי של ציר $y$ . שני הענפים שייכים לטרקטריקס, ונפגשים בנקודת החוד (cusp) שהקואורדינטות שלה הן $(a,0)$ .

חשיבות העקום

משמעות חשובה לעקומה נגזרת מחקר גוף הסיבוב שלו מסביב לאסימפטוטה שלו; הפסאודוספירה. משטח הפסאודו-ספירה, שנחקר בידי אוגניו בלטרמי ב-1868 כמשטח בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה, הוא מודל מקומי של גאומטריה לא-אוקלידית (במקרה זה של גאומטריה היפרבולית).

תכונות

קו השרשרת כאבולוט של הטרקטריקס

• התכונה הבסיסית של הטרקטריקס, שנגזרת ישירות מהדרך הגאומטרית בה הוא מוגדר, היא שלכל נקודה עליו, למקטע של הקו המשיק לו שמחבר בין נקודת ההשקה ונקודת החיתוך שלו עם האסימפטוטה, יש אורך קבוע $a$ .
• אורך העקום בין נקודות $x=x_{1},x_{2}$ הוא $a\ln \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)$ .
• השטח בין הטרקטריקס לאסימפטוטה שלו הוא ${\frac {\pi }{2}}a^{2}$ .
• המעטפת של קווי הנורמל של הטרקטריקס (שהיא גם האוולוט שלו) היא קו השרשרת שמשוואתו נתונה על ידי $y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)$ .

המחשה יפהפיה לעובדה זאת היא דרך הסתכלות בתלת-ממד על גופי הסיבוב של הטרקטריקס ושל האוולוט שלו. בניית הקווים הנורמלים למשטח בעלת עקמומיות גאוס שלילית קבועה (שהוא כפי שצוין מקודם, גוף סיבוב של הטרקטריקס) מייצרת מעטפת שהיא בהכרח משטח מינימלי (minimal surface); משטח שממזער את שטח הפנים שלו בהינתן תנאי שפה נתונים.

הוכחה לטענה זאת היא דרך הכללת המשפטים המתארים אוולוטים של עקומות במישור לכדי אוולוטים של משטחים במרחב; במקרה של משטח מרחב, אלמנט השטח של משטח האוולוט $dA$ הוא $dR_{1}dR_{2}$ כאשר $R_{1},R_{2}$ הם רדיוסי העקמומיות הראשיים שלה המשטח המקורי בנקודה. עובדה זאת היא הגירסה המרחבית למשפט הקובע שאורך האוולוט של עקום שווה להפרש בין רדיוסי העקמומיות שלו בנקודות הקצה שלו. מהכללה זאת ומהעובדה שהמכפלה $R_{1}R_{2}$ קבועה על הפסאודו-ספירה, מקבלים ששטח האוולוט שלה הוא בהכרח אקסטרמלי. לפיכך האוולוט של גוף הסיבוב של הטרקטריקס הוא בהכרח קטנואיד; המשטח המינימלי היחיד בעל סימטריה גלילית, ומכאן שבחתך מישורי האוולוט של הטרקטריקס הוא קו השרשרת.

מכונות שרטוט

• ב-1693, תיאר לייבניץ תיאר מכניזם שיכול לבצע תרבוע מכני של עקומים. המכניזם, דוגמא מוקדמת למנגנון של "אינטגרף" (integraph), היה מבוסס על תכונות עקומת הטרקטריקס.
• ב-1706 בנה ג'ון פרקס מכונה המבוססת על תכונות העקום שיכלה לבצע תרבוע היפרבולי.
• ב-1729 בנה יוהאן פולני מכונה דומה המאפשרת לשרטט עקומים לוגריתמיים.

ראו גם

• פסאודוספירה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0