אוולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה בגאומטריה דיפרנציאלית , בהינתן עקומה במישור
γ
:
[
0
,
L
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}}
פרמטריזציה טבעית , אֵווֹלוּט (Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות [1]
נוסחת האוולוט היא:
E
→
(
s
)
=
γ
→
(
s
)
+
R
(
s
)
n
→
(
s
)
=
γ
→
(
s
)
+
1
k
(
s
)
n
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {E}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+R(s){\vec {n}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+{\frac {1}{k(s)}}{\vec {n}}(s)}
כאשר
k
{\displaystyle k}
עקמומיות העקומה
γ
{\displaystyle \gamma }
משוואות פרנה מתוך
d
v
→
d
s
=
v
→
′
(
s
)
=
k
(
s
)
n
→
(
s
)
{\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{ds}}={\vec {v}}'(s)=k(s){\vec {n}}(s)}
k
(
s
)
=
⟨
γ
→
″
(
s
)
,
n
→
(
s
)
⟩
{\displaystyle k(s)={\bigl \langle }{\vec {\gamma }}''(s),{\vec {n}}(s){\bigr \rangle }}
R
(
s
)
=
1
k
(
s
)
{\displaystyle R(s)={\frac {1}{k(s)}}}
רדיוס העקמומיות
n
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {n}}(s)}
ניצב לוקטור המשיק לעקומה
v
→
(
s
)
=
γ
→
′
(
s
)
{\displaystyle {\vec {v}}(s)={\vec {\gamma }}'(s)}
בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.אנליטית , ניתן לתאר את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה
(
τ
,
s
)
⟼
F
→
(
τ
,
s
)
=
γ
→
(
s
)
+
τ
n
→
(
s
)
{\displaystyle (\tau ,s)\longmapsto {\vec {F}}(\tau ,s)={\vec {\gamma }}(s)+\tau {\vec {n}}(s)}
במקום זה, המתקבל עבור
τ
=
1
k
(
s
)
{\displaystyle \tau ={\frac {1}{k(s)}}}
אינפיניטסימלית נחתכים ולכן
(
τ
,
s
)
{\displaystyle (\tau ,s)}
קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע כי האוולוט הוא מעטפת כל הנורמלים לעקומה[דרושה הבהרה]
משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר:
k
(
s
)
,
k
′
(
s
)
≠
0
{\displaystyle k(s),k'(s)\neq 0}
∫
s
1
s
2
|
E
′
(
s
)
|
d
s
=
∫
s
1
s
2
|
(
d
d
s
R
′
(
s
)
)
n
→
(
s
)
|
d
s
=
∫
s
1
s
2
|
R
′
(
s
)
|
d
s
=
|
∫
s
1
s
2
R
′
(
s
)
d
s
|
=
|
R
(
s
2
)
−
R
(
s
1
)
|
{\displaystyle \int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}|E'(s)|ds=\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}\left|\left({\frac {d}{ds}}R'(s)\right){\vec {n}}(s)\right|ds=\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}|R'(s)|ds={\bigg |}\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}R'(s)ds{\bigg |}={\bigl |}R(s_{2})-R(s_{1}){\bigr |}}
כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ו־
R
{\displaystyle R}
פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של
s
{\displaystyle s}
E
→
′
(
s
)
=
γ
′
(
s
)
+
R
′
(
s
)
n
→
(
s
)
+
R
(
s
)
n
→
′
(
s
)
=
v
→
(
s
)
+
R
′
(
s
)
n
→
(
s
)
−
R
(
s
)
k
(
s
)
v
→
(
s
)
=
R
′
(
s
)
n
→
(
s
)
{\displaystyle {{\vec {E}}'(s)=\gamma '(s)+R'(s){\vec {n}}(s)+R(s){\vec {n}}'(s)={\vec {v}}(s)+R'(s){\vec {n}}(s)-R(s)k(s){\vec {v}}(s)=R'(s){\vec {n}}(s)}}
לפי משוואות פרנה .
הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה־5 של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס מפרגה (בסביבות 200 לפס"נ), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673 ).
קישורים חיצוניים הערות שוליים
^ מרכז העקמומיות לנקודה
s
{\displaystyle s}
מעגל הנושק לעקומה ב־
γ
(
s
)
{\displaystyle \gamma (s)}
![{\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9e80fc9af87acbc6fceeb67ad27fca242ce01b)
