גוף סיבוב

ההנפשה מתארת יצירת טורוס על-ידי סיבוב עיגול (אדום) סביב ציר סיבוב העובר מחוצה לו (הציר אינו מתואר בהנפשה)

בגאומטריה של המרחב, גוף סיבוב הוא גוף הנוצר על-ידי סיבוב צורה גאומטרית מישורית סביב ישר (הנקרא ציר הסיבוב) המונח במישור הצורה.

למשל, אם נסובב עיגול סביב ישר העובר דרך מרכזו, נקבל כדור, ואם נסובב את העיגול סביב ישר הנמצא מחוצה לו, נקבל טורוס.

לפעמים מתייחס המונח "גוף סיבוב" גם למשטח הנוצר מסיבוב עקומה סביב ישר, אך חשוב להבדיל בין השניים; בעוד שגוף סיבוב הוא צורה גאומטרית תלת-ממדית, משטח סיבוב הוא יריעה דו-ממדית, העוטפת את גוף הסיבוב. גוף הסיבוב יהיה חסום אם העקומה חסומה, אבל המונח מתייחס גם לגופים שאינם חסומים, כמו למשל, גוף לא-חסום, המוגבל על-ידי פרבולואיד, המתקבל מסיבוב פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה.

גופי סיבוב מוכרים

גוף הסיבוב	הצורה הגאומטרית	מקום ציר הסיבוב	זווית הסיבוב במעלות
כדור	עיגול	עובר דרך מרכז העיגול	180
טורוס		עובר מחוץ לעיגול	360
ספרואיד	אליפסה	מתלכד עם אחד מצירי האליפסה	180
גליל	מלבן	מתלכד עם אחד הניצבים	360
חרוט ישר	משולש ישר-זווית
דו-חרוט	משולש שווה-שוקיים	מתלכד עם בסיס המשולש

נפח גוף סיבוב סביב ציר x

נפח גוף הסיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר $x$ של השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר $x$ ולישרים $x=a,x=b$ הוא:

$V=\pi \int \limits _{a}^{b}f(x)^{2}dx$

ההסבר לנוסחא הוא שכדי לחשב את הנפח של גוף הסיבוב, נבנה צורה הדומה לו על-ידי ערימת אוסף של דיסקות. מכך שנפחה של דיסקית נתון על-ידי הנוסחא $\pi r^{2}h$ (כאשר $r$ רדיוס הדיסקה, $h$ גובהה) ושרדיוס כל דיסקה שווה בקירוב לערך הפונקציה בסביבתו, נקבל את הנוסחא המבוקשת.

מקרה מיוחד הראוי לציון הוא נפח גוף הסיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר $x$ של השטח הכלוא בין הישרים $x=a,x=b$ ובין שתי פונקציות $f,g$ .

נוכל לעשות זאת על-ידי חיסור נפח גוף הסיבוב של הצורה הפנימית מהחיצונית:

${\begin{aligned}V=\pi \int \limits _{a}^{b}{\Big |}f(x)^{2}-g(x)^{2}{\Big |}dx\end{aligned}}$

נפח גוף סיבוב סביב ציר y

נפח גוף סיבוב המתקבל על-ידי סיבוב שטח מישורי של פונקציה (הכלוא בין הישרים $x=a,x=b$) סביב ציר $y$ הוא:

${\begin{aligned}V=2\pi \int \limits _{a}^{b}x\!\cdot \!f(x)dx\end{aligned}}$

נפח גוף סיבוב סביב ישר כלשהו

ראה ערך משפט פאפוס.

שטח גוף סיבוב

שטח הפנים של גוף סיבוב המתקבל על-ידי סיבוב סביב ציר $x$ של השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ לציר $x$ ולישרים $x=a,x=b$ הוא:

${\begin{aligned}A=2\pi \int \limits _{a}^{b}{\big |}f(x){\big |}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx\end{aligned}}$