פונקציית אקרמן

פונקציית אקרמן היא דוגמה פשוטה לפונקציה רקורסיבית שאיננה רקורסיבית פרימיטיבית. פונקציה זו גדלה מהר יותר מכל פונקציה רקורסיבית פרימיטיבית. לשם המחשה, $ A(4,2) $, בבסיס 10, הוא מספר בן 19,729 ספרות.
הפונקציה קרויה על-שם מי שהגדיר אותה, בשנת 1928, המתמטיקאי הגרמני וילהלם אקרמן.[1]
הגדרה
פונקציית אקרמן מחושבת על ידי ההגדרה הרקורסיבית הבאה:
- $ A(m,n)={\begin{cases}n+1&{\mbox{if }}m=0\\A(m-1,1)&{\mbox{if }}m>0{\mbox{ and }}n=0\\A(m-1,A(m,n-1))&{\mbox{if }}m>0{\mbox{ and }}n>0\end{cases}} $
עבור $ m $ ו-$ n $ טבעיים.
ניתן לבטא את פונקציית אקרמן במונחי החץ של קנות' והחץ של קונוויי.
הזהויות הן ($ m>2 $ ו-$ n $ טבעיים):
- החץ של קנות': $ A(m,n)=2\uparrow ^{m-2}(n+3)-3 $
- החץ של קונוויי: $ A(m,n)=(2\rightarrow (n+3)\rightarrow (m-2))-3 $
דוגמה
נחשב את הערך $ A(2,2) $:
$ {\begin{aligned}A(2,2)&=A(1,A(2,1))\\&=A(1,A(1,A(1,0)))\\&=A(1,A(1,A(0,1)))\\&=A(1,A(1,2))\\&=A(1,A(0,A(1,1)))\\&=A(1,A(0,A(0,A(1,0))))\\&=A(1,A(0,A(0,A(0,1))))\\&=A(1,A(0,A(0,2)))\\&=A(1,A(0,3))\\&=A(1,4)\\&=A(0,A(1,3))\\&=A(0,A(0,A(1,2)))\\&=A(0,A(0,A(0,A(1,1))))\\&=A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))\\&=A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))\\&=A(0,A(0,A(0,A(0,2))))\\&=A(0,A(0,A(0,3)))\\&=A(0,A(0,4))=A(0,5)\\&=6\end{aligned}} $
לעומתו, ניתן לראות כי:
$ {\begin{aligned}A(4,3)&=A(3,A(4,2))\\&=A(3,A(3,A(4,1)))\\&=A(3,A(3,A(3,A(4,0))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(3,1))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(3,0)))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(2,1)))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,A(2,0))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,A(1,1))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,A(0,A(1,0)))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,A(0,A(0,1)))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,A(0,2))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(1,3)))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(1,2))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(0,A(1,1)))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(0,A(0,2)))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,A(0,3))))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,A(0,4)))))\\&=A(3,A(3,A(3,A(2,5))))\\&=\ldots \\&=A(3,A(3,A(3,13)))\\&=\ldots \\&=A(3,A(3,65533))\\&=\ldots \\&=A(3,2^{65536}-3)\\&=\ldots \\&=2^{2^{\overset {65536}{}}}-3.\\\end{aligned}} $
כלומר ההפרש הוא עצום.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציית אקרמן, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- פונקציית אקרמן, באתר MathWorld (באנגלית)
שגיאות פרמטריות בתבנית:יוטיוב
'סוג: סרטון בערוץ Computerphile' אינו ערך חוקיThe Most Difficult Program to Compute?, סרטון בערוץ Computerphile באתר יוטיוב (אורך: 14:55) (באנגלית)
הערות שוליים
- ↑ אקרמן עבר את מלחמת העולם השניה באוניברסיטת גטינגן שהולאמה תחת המשטר הנאצי מאז 1933, וחוקריה היהודים סולקו ממנה. לאחר המלחמה הוא נחקר בידי האמריקאים במשפטי נירנברג בחשד לחברות במפלגה הנאצית. ראו רשימת הנחקרים באתר הארכיב הממשלתי של ארה"ב. בויקיפדיה באנגלית סומן בקטגוריה כבן הכנסיה הלותרנית, אך לא הובאה הוכחה לקביעה זו. לאחר המלחמה נותר בתפקידיו באוניברסיטת גטינגן.
פונקציית אקרמן33957816Q341835