טטרציה

ערך זה עוסק בפעולה מתמטית. אם התכוונתם לשיטה לקביעת הריכוז של חומרים שונים בתמיסה, ראו טיטור.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, טֶטְרָצְיָה (באנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון $a\uparrow \uparrow b$ או $^{a}b$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא הבסיס ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ־ית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\uparrow\uparrow b = {}^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{ \cdots ^a}}}}}_b}

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^ba = \begin{cases} 1, & \text{if }b=0 \\ a^{^{b-1}a}, & \text{if }b>0 \end{cases}}

מבוא

ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית ירושה (אנ'), המוגדרת כ- $a'=a+1$ נחשבת להיפר-פעולה האפס.

חיבור:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{ times}}}
כפל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\times b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{ times}}}
חזקה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}}
טטרציה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot ^a}}}}}}}_{b \text{ times}}}

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {3^5}^7} משמעותו $3^{(5^{7})}$ ולא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(3^5)}^7} .

תכונות

כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^a(^bx) = {}^{ab}x} ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^axy = {}^ax^a{}y} אינן נכונות ברוב המקרים.^[1]
בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{({^a}b)}c = {}^{^a}(^bc)} אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
בדומה לחזקה, מתקיים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^0x = 1} ו $^{1}x=x$
מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^ax = x^{(^{a-1} x)}}
ממהגדרה למעלה נובע כי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (^ba)^{(^ca)} = (^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}} מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &\left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)} \\ ={} &\left(a^{{}^{b-1} a}\right)^{\left({}^c a\right)} \\ ={} &a^{\left({}^{b-1} a\right)\left({}^c a\right)} \\ ={} &a^{\left({}^c a\right)\left({}^{b-1} a\right)} \\ ={} &\left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)} \end{align}}

הכללות

את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

הכללת הבסיס

בסיס אפס

החזקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0^0} אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה $^{n}0$ אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} {}^nx} מוגדר וקיים:^[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x = \begin{cases} 1, & n \text{ even} \\ 0, & n \text{ odd} \end{cases}}

ולכן, ניתן להגדיר כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^n0 = \lim_{x\rightarrow0} {}^nx}

בסיס מרוכב

מאחר וניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = a+bi} .

לדוגמה, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^nz} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=i} , ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:

i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{n+1}i = a'+b'i} באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^ni = a+bi} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt] b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}} \end{align}}

הכללת הגובה

גובה אינסופי

ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx} . זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}} מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}} &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\ &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\ &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\ &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\ &\approx 1.93 \end{align}}

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\!} מתכנס עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}} .

גובה שלילי שלם

באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

{^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},

ניתן למצוא את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-1}a} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right);}

אם במקום k נציב -1 נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0}

ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-2}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_a 0}

וזהו מספר שאינו מוגדר.

פעולות הופכיות

לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

סופר-שורש

הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^ny = x} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הוא הסופר-שורש ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ־י של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , והוא יסומן בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \sqrt[n]{x}_s}

לדוגמה, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^42 = 2^{2^{2^{2}}} = 65,536} אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 = \sqrt[4]{65,536}_s} ).

סופר-שורש ריבועי

הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[2]{x}_s} , או בפשטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s} .

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^x} , וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'):^[3]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s = e^{W(\ln{x})} = \frac{\ln{x}}{W(\ln{x})}}

סופר-לוגריתם

הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^yn = x} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הוא הסופר-לוגריתם מבסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , והוא יסומן בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \text{slog}_n{x}} . פונקציה זו מוגדרת עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n > 1} .

תכונות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{slog}_b(b^x) = \text{slog}_b(x) + 1}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{slog}_b1 = 0}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{slog}_b(x) = \text{slog}_b(\log_b{(x)}) + 1}
לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ממשי מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{slog}_b(x) > -2}

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טטרציה בוויקישיתוף

טטרציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014
↑ George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015
↑ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

טטרציה33792583Q194324

[1] Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014

[2] George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015

[3] Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996

[1]

[2]

[3]

טטרציה

תוכן עניינים

מבוא

תכונות