פנטציה

שלושת הערכים הראשונים של הביטוי x [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 ¹² ; ערכים עבור x גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 ^{8.072 × 10 153} גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.

במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, $ 2[5]3 $ פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או $ 2[4](2[4]2) $ . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל $ 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536. $

אֶטִימוֹלוֹגִיָה

את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות.

סימון

אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.

• אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: $ a[5]b $ = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
• בסימון החץ למעלה, $ a[5]b $ מיוצג כ $ a\uparrow \uparrow \uparrow b $ אוֹ $ a\uparrow ^{3}b $ . בסימון זה, $ a\uparrow b $ מייצג חזקה ו-$ a\uparrow \uparrow b $ מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
• בסימון חץ משורשר, $ a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3 $ .
• סימון מוצע נוסף הוא $ {_{b}a} $, אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר.

דוגמאות

ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם $ A(n,m) $ מוגדר על ידי הישנות אקרמן $ A(m-1,A(m,n-1)) $ עם התנאים ההתחלתיים $ A(1,n)=an $ ו $ A(m,1)=a $, לאחר מכן $ a[5]b=A(4,b) $ .

כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation $ a[5]b $ מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:

• $ 1[5]b=1 $
• $ a[5]1=a $
• $ a[5]2=a[4]a $
• $ a[5]0=1 $
• $ a[5](-1)=0 $
• $ a[5](-2)=-1 $
• $ a[5](b+1)=a[4](a[5]b) $

מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:

• $ 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4 $
• $ 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536 $
• $ 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508) $ (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה $ \exp _{10}(n)=10^{n} $ )
• $ 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508) $
• $ 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987 $
• $ 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902) $
• $ 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902) $
• $ 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19) $ (מספר עם יותר מ-10 ¹⁵³ ספרות)
• $ 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928) $ (מספר עם יותר מ-10 ^{10 2184} ספרות)

ראו גם

• פונקציית אקרמן
• מספרים גדולים
• המספר של גרהם

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פנטציה39408044Q2329893