שלושת הערכים הראשונים של הביטוי x [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 12 ; ערכים עבור x גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 8.072 × 10 153 גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.
במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת[1] זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל
את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות. [2]
סימון
אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.
אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
בסימון החץ למעלה, מיוצג כ אוֹ . בסימון זה, מייצג חזקה ו- מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
סימון מוצע נוסף הוא , אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר. [4]
דוגמאות
ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם מוגדר על ידי הישנות אקרמן עם התנאים ההתחלתיים ו , לאחר מכן . [5]
כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:
מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:
(מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה )
![{\displaystyle 2[5]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dde2e1ae796cf35361a4eac0ed5ee088dad464d)
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
![{\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a65e4bf6c07338977b0fedeca2a2b702f4306)
![{\displaystyle a[5]b=A(4,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36fd296e5556dc05d3da63d988f0e3aba29d19)
![{\displaystyle 1[5]b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa921244f5a19ac238e1e5facbce803f7bd536a)
![{\displaystyle a[5]1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b09635a9e2ad78029099d065c824340b94ee2c)
![{\displaystyle a[5]2=a[4]a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77310dd762cc30118f6595813c7b9d8fefd72e)
![{\displaystyle a[5]0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5cdf53a1e0c4bd1ee33b75c0375f3c2be4bbe)
=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc99b8fb595e98b67463657c9950b4eba96d2cb)
=a[4](a[5]b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09568169f0a8bdbd468ab07f60d1e74c56439a4)
![{\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544aee58a80be2fa1dcdae14cddab48f8b189d9)
![{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29f9dc74dba7f4a713a28582c90f537827938f)
![{\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c41819210b848db43294a19dda82f879c92dec0)
![{\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227977424727e9a4313595075ee7556b01210f52)
![{\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a455992a369ea94a39c61963513f4d19b3c7800)
![{\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428decd75ac732e6a8bb74b6f10ebf130f4e7040)
![{\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44619c29439c58475ede02e33e1ac0f3bc6ecef)
![{\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb9353578126aa7a2e5dbbb93f5587a9f80373a)
![{\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428de46090279b2771bd9e491bfb0d4886183d53)
