חבורות ההומולוגיה

חבורות ההומולוגיה (Homology groups) של מרחב טופולוגי הן חבורות אבליות המותאמות למרחב, ומספקות מידע מסוים על המרחב. הן מסומנות $H_{i}(X)$ לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ge 0} שלם. בדומה לחבורות ההומוטופיה, חבורות ההומולוגיה מודדות שינויים רציפים על מרחבים טופולוגיים. הן נקראות לעיתים גם חבורות ההומולוגיה הסינגולרית (Singular homology).

חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - למרחבים הומוטופיים (ובפרט הומיאומורפיים) אותן חבורות ההומולוגיה. אינווריאנט זה איננו שלם - ייתכנו מרחבים לא הומוטופיים עם אותן חבורות ההומולוגיה. בכל זאת, במקרים מסוימים של מרחבי CW הן מאפיינות את המרחב - למשפט וייטהד יש מקבילה הומולוגית, בעזרת משפט הורוויץ.

לחבורות ההומולוגיה שימושים רבים בטופולוגיה כמו גם בתחומים אחרים, כמו גאומטריה דיפרנציאלית, אנליזה ועוד.

הקדמה

תורת הומולגיה

ערך מורחב – תורת ההומולוגיה

תורת הומולוגיה היא אוסף של פנקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_n:\operatorname{Top}_2\rightarrow \operatorname{Ab}} . דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,A)} המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq X} חבורה אבלית ומקיימות:

1. אינווריאנטיות תחת הומוטופיה.
2. סדרה מדויקת - קיימות פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_n:H_n(X,A)\rightarrow H_{n-1}(A,\emptyset)} המשרות סדרה מדויקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cdots\rightarrow H_n(A,\emptyset)\longrightarrow H_n(X,\emptyset) \longrightarrow H_n(X,A) \longrightarrow H_{n-1}(A,\emptyset)\rightarrow\cdots}
3. החבורות המתאימות לנקודה הן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(\{p\},\emptyset)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & n\neq 0 \\ \mathbb{Z} & n=0 \end{array}\right.} .
4. ההעתקות טבעיות ביחס לפונקציות של זוגות.
5. מתקיים משפט הקיצוץ.

הומולוגיה סינגולרית

ההומולוגיה סינגולרית אכן מקיימת את כל התנאים לעיל. למרות זאת, בדרך כלל מוגדרות ראשית חבורות ההומולוגיה של מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_i(X)=H_i(X,\emptyset)} ולא של זוג, ובעזרת המונחים מהומולוגיה של מרחב מגדירים הומולוגיה של זוגית. ההומולוגיה הסינגולרית היא ההומולוגיה המוכרת ביותר, ועל כן חבורות ההומולוגיה הסינגולרית נקראות חבורות ההומולוגיה. ההגדרה של הומולוגיה סינגולרית היא כבדה וטכנית ומערבת מושגים רבים מאלגברה הומולוגית, כולל מרדף דיאגרמות רב.

ההומולוגיה סינגולרית נבנית על סמך סימפלקסים סינוגלריים. היישומים של בנייה זו הם הבנת תהליכים גאומטריים רציפים בצורת סימפלקסים על מרחבים טופולוגיים שונים. מבחינה אינטואיטיבית, ההומולוגיה הסינגולרית ה-n-ית מודדת את החללים ה-n ממדיים של המרחב. טכנית, דבר זה נעשה באמצעות השוואת כל הדרכים לקפל סימפלקסים לתוך המרחב. שני קיפולים כאלה נקראים שקולים, או הומולוגיים, אם השפות שלהם משותפות.

היסטורית, המקור להומולוגיה סינגולרית הוא בעבודה של פואנקרה - שבנה אובייקטים הרבה יותר פשוטים; מאחורי הבניות שלו עומדת האינטואיציה הגאומטרית להומולוגיה הסינגולרית.

סימפלקס סינגולרי

ערך מורחב – סימפלקס

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הסימפלקס הסטנדרטי ה-2-ממדי

סימפלקס הוא מבנה גאומטרי בסיסי. סימפלקס $n$-ממדי כללי הוא הקמור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נקודות בלתי תלויות אפינית במרחב הממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+1}} .

מגדירים את הסימפלקס ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי, או הסימפלקס הסטנדרטי, להיות הסימפלקס שהוא הקמור של הבסיס הסטנדרטי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} . זוהי הצורה הגאומטרית שמחברת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הנקודות במרחק 1 מראשית הצירים לכיוון כל ציר. הסימפלקס מסומן על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^n} . מפורשות -

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^n=\{(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=0}^nx_i = 1\wedge\forall i, x_i\geq 0\}}

אם נוסיף גם את הראשית, הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{0} = (0,...,0) \in \R^{n+1}} , נקבל את הסימפלקס הסטנדרטי "הנפחי"

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^{n+1}=\{(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=0}^nx_i \leq 1\wedge\forall i, x_i\geq 0\}}

לדוגמה: ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^3} הסימפלקס הדו-ממדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^2} הוא הפאה המתוארת באיור משמאל, ואילו הסימפלקס "הנפחי" התלת-ממדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta^3} הוא כל הנפח הכלוא בין בין סימפלקס זה למישורים המוגדרים על ידי הצירים (הנפח שמתחת לפאה הירוקה באיור, המוגבל על ידי המישורים x=0, y=0, z=0).

נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n] } את הסימפלקס ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} -ממדי המתקבל מכל הקואורדינטות של הסימפלקס המקורי מלבד הקואורדינטה ה-i. זוהי אחת הדפנות של הסימפלקס המקורי.

סימפלקס סינגולרי במרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא העתקה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\Delta^n \to X} . כלומר, סימפלקס סינגולרי ב-$X$ הוא עיוות של הסימפלקס הסטנדרטי לתוך המרחב.

הגדרה

יהי מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} .

נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n(X):=\{\sigma:\Delta^n\rightarrow X\mid \sigma \mbox{ is continuous}\}} . תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n(X)=\langle S_n(X)\rang} החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי האוסף הזה. איברי חבורה זו נקראים שרשראות, משום שאלו הם סכומים פורמליים סופיים של סימפלקסים עם משקלים עליהם.

נגדיר לכל n פונקציית שפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_n:C_n(X)\rightarrow C_{n-1}(X)} על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_n([\sigma]) = \sum_{i=0}^n(-1)^i[\sigma\mid_{e_0,\ldots,\hat{e_i}\ldots,e_n}]} , כלומר נקבל סכום מסומן של דפנות הסימפלקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma} .

קיבלנו קומפלקס שרשראות של החבורות הנוצרות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cdots\rightarrow C_n(X)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} C_{n-1}(X)\stackrel{\partial_{n-1}}{\longrightarrow} C_{n-2}(X)\rightarrow\cdots}

חישוב ישיר מראה שמתקיים התנאי של הקומפלקס, דהיינו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \partial_{n-1}\circ\partial_n\equiv 0} . כלומר, שפה של שפה היא אפס.

שרשרת ששפתה אפס נקראת מחזור או ציקלוס, מכיוון שהיא מתאימה לרצף מחזורי של קטעים. לדוגמה, המעגל הוא סימפלקס חד ממדי (דהיינו-קטע) שקופל כך שתמונת הקצוות זהה. שפת קטע היא בדיוק קצותיו, כך שלפי הגדרת השפה אנחנו נקבל את תמונת הקצוות עם מקדם 1 ואז את אותה תמונה עם מקדם (1-), כך שהתמונה תתאפס. למי שרוצה נוסחאות יהי $\ \sigma$ ההעתקה שלנו מקטע היחידה למרחב שיוצרת עיגול, ונניח שתמונת הקצוות היא v ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \partial_1(\sigma) = \sigma\mid_1-\sigma\mid_0 = v-v=0}

שרשרת שהיא שפה של שרשרת ממימד גבוה יותר נקראת שפה.

חבורת ההומולוגיה הסינגולרית ה-n היא חבורת המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_n(X) = \ker \partial_n/\operatorname{Im}\partial_{n+1}} , כלומר, מחלקת הומולוגיה היא אוסף של מחזורים שיש להם שפה משותפת. לדוגמה, שני מעגלים שמחוברים, ליצור את הספרה 8 הם הומולוגים.

הומולוגיה מצומצמת

לעיתים רבות נוח לחשב דווקא את חבורות ההומולוגיה המצומצמות של מרחב. נשים לב שהסדרה הקודמת מסתיימת כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \to C_1(X) \to C_0(X) \to 0}

כעת, נרצה להוסיף עוד גורם בסוף הסדרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \to C_1(X) \to C_0(X) \overset{\epsilon}{\to} \mathbb{Z} \to 0}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon: C_0(X) \to \mathbb{Z}} היא ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon(\sum{n_i \sigma_i}) = \sum{n_i}} . אכן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Im} (\partial_1) \subseteq \operatorname{ker}(\epsilon)} ויש שוויון כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} קשיר מסילתית. קומפלקס זה משרה חבורות הומולוגיה, הנקראות חבורות ההומולוגיה המצומצמות ${\tilde {H}}_{n}(X)$.

מעצם הבנייה, חבורות אלו שוות כמעט כולן לחבורות הרגילות, פרט לחבורה האפס - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{H}_0(X)} נבדלת מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0(X)} ביוצר אבלי חופשי אחד.

החבורות הראשונות

לחבורות ההומוטופיה הראשונות משמעות גאומטרית וטופולוגית אינטואיטיבית.

החבורה האפס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0(X)} סופרת את מספר רכיבי הקשירות של המרחב. בעזרת טענה זו ניתן לספור את המרכיבים מלכתחילה; אחד היישומים של שיטה זו הוא הוכחת משפט העקומה של ז'ורדן באופן קל יחסית.

החבורה הראשונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1(X)} איזומורפית באופן טבעי לאבליזציה של החבורה היסודית של המרחב. טענה זו יחד עם טבעיות האיזומורפיזם ניתן ליישם במספר טענות חישוביות.

מקרה מיוחד נוסף הוא החבורה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} של יריעה טופולוגית סגורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדית שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} אם היריעה אוריינטבילית, ושווה לאפס אחרת.

מבנה

חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - כלומר, למרחבים הומוטופיים אותן חבורות ההומולוגיה. בפרט, החבורות המצומצמות של מרחב כוויץ כולן אפס. בכל זאת, הן לא מבדילות באופן מלא בין מרחבים טופולוגיים - ישנם מרחבים בעלי אותן החבורות שאינם שקולים הומוטופית, למשל טורוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ואיחוד נקודתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1\vee S^1 \vee S^2} .

לצורך חישוב חבורות ההומולוגיה יש מספר שיטות. המוכרת והבסיסית ביותר היא סדרת מאייר-ויאטוריס, סדרה מדויקת המקשרת בין החבורות של מרחב לחבורות של כיסוי טוב שלו, ובכך מקלה על החישוב. השימוש בסדרה מקביל במובן מסוים לשימוש במשפט ואן קמפן בעת חישוב החבורה היסודית. שיטה נוספת לחישוב חבורות של מרחבים רבים היא שיטה שפותחה במיוחד לחישוב החבורות של מרחבי CW.

ההומולוגיה הסינגולרית ביחס לכיסוי

ההומולוגיה הסינגולרית של כיסוי של מרחב טופולוגיה, היא הומולוגיה ביחס לכיסוי טוב שלו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}} . כדי להגדירה, ראשית מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n^{U}(X)} להיות אוסף הסימפלקסים הסינגולריים שתמונתם מוכלת באחד ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\alpha} ; כמו כן מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^{U}(X)=FA(S_n^{U}(X))} , החבורה האבלית החופשית מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n^{U}(X)} . מהסדרה שלעיל, היות שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial(C_n^{U}(X)) \subseteq C_{n-1}^{U}(X)} , מושרה קומפלקס שרשראות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \to C_{n+1}^{U}(X) \to C_{n}^{U}(X) \to C_{n-1}^{U}(X) \to \dots}

מקומפלקס שרשראות זה משרה את חבורות ההומולוגיה היחסיות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n^{U}(X)} .

כעת, משפט חשוב קובע שהעתקת ההכלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:C_n^{U}(X) \to C_n(X)} משרה איזומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_*: H_n^{U}(X) \to H_n(X)} , והוא למעשה איזומורפיזם טבעי ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.

נראה שלא חידשנו כלום, אך למעשה הרווחנו דיי הרבה - שימוש נפוץ במיוחד בבנייה זו הוא כאשר הכיסוי הוא כיסוי של שתי תתי-קבוצות נחתכות לא טריוויאלית, המוביל לבניית סדרת מאייר-ויאטוריס, סדרה נפוצה במיוחד העוזרת בחישוב חבורות הומולוגיה רבות.

חבורות ההומולוגיה היחסית

כאמור לעיל, תורת הומולוגיה מוגדרת בעזרת התאמת חבורות לזוגות של מרחבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,A)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \subseteq X} - אך במקרה של הומולוגיה סינגולרית בדרך כלל מגדירים אותן אחרי הגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(X)} .

כדי להגדיר את חבורות ההומולוגיה היחסיות, נגדיר $C_{n}(X,A)=C_{n}(X)/C_{n}(A)$. היות שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial (C_n(A)) \subseteq C_{n-1}(A)} מושרות העתקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial : C_n(X,A) \to C_{n-1}(X,A)} , והן משרות חבורות הומולוגיה - הנקראת חבורות ההומולוגיה היחסיות, ומסומנות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(X,A)} . לחבורות אלו אכן מתאימה סדרה מדויקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \to H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X,A) \to H_{n-1}(A) \to \dots} . הסדרה המדויקת של חבורות ההומולוגיה היא אכן טבעית ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.

לאחר הגדרת ההומולוגיה היחסית, ניתן להוכיח את משפט הקיצוץ - הקובע כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \subseteq A \subseteq X} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{cl}(K) \subseteq \operatorname{Int}(A)} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n(X \setminus K, A \setminus K)\cong H_n(X,A)} .

תוצאות של ההומולוגיה הסינגולרית

• משפט נקודת השבת של בראואר
• משפט שימור התחום
• משפט הכדור השעיר
• משפט בורסוק-אולם
• משפט העקומה של ז'ורדן

ראו גם

• תורת ההומולוגיה
• אלגברה הומולוגית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

25884620חבורות ההומולוגיה