חבורה אבלית חופשית

במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית (מאנגלית: Free abelian group) היא חבורה אבלית בעלת בסיס. זוהי חבורת הסכומים הפורמליים הסופיים מעל קבוצה נתונה, בה הפעולה היא חיבור ברכיבים. כל חבורה אבלית היא תמונה (כלומר מנה) של חבורה אבלית חופשית.

הגדרה

הגדרה אלמנטרית

חבורה אבלית חופשית היא סכום ישר של מספר עותקים של $\mathbb {Z}$. אם מספר העותקים הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} אז החבורה מסומנת ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z^n} . המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} לא חייב להיות סופי אלא יכול להיות עוצמה כלשהי. המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא סופי אםם החבורה נוצרת סופית. חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית נקראת לעיתים סריג. זאת בגלל הקשר של חבורת כאלה למושג סריג בגאומטריה.

תכונה אוניברסלית

החבורה האבלית החופשית מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: בהינתן קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , מתאימים לה חבורה אבלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle FA(S)} והומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:S \to FA(S)} , כך שלכל חבורה אבלית אחרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ולכל העתקה $f:S\to A$, יש הרחבה יחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f}:FA(S) \to A} . כלומר, הדיאגרמה הבאה מתחלפת:

כלומר, העתקות מתוך החבורה האבלית החופשית מספיק להגדיר על היוצרים, כמו גם בחבורה החופשית.

מן התכונה האוניברסלית נובע כי החבורה החופשית עם בסיס S היא יחידה עד כדי איזומורפיזם, ועל כן מספיק להציג בנייה שלה.

בנייה מפורשת

בהינתן קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle FA(S)= \oplus_{S}{\mathbb{Z}}} , כלומר סכום ישר של החבורה הציקלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} פעמים. מפורשות, זוהי קבוצת הסדרות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n_i)_{i \in S}} בעלות תומך סופי - כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_i=0} פרט למספר סופי של אינדקסים. הפעולה בה היא חיבור סדרות, והנגדי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-n_i)_{i \in S}} .

כעת, נראה שהיא מקיימת את התכונה האוניברסלית - השיכון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:S \to FA(S)} נתון על ידי $s\mapsto \delta _{s,y}$ (הדלתא של קרונקר), כלומר אל הסדרה שהיא 1 במקום ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} ואפס בכל מקום אחר. בהינתן חבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} והעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:S \to A} , ההרחבה היחידה שלה נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f}((n_i)_{i \in S})=\sum{n_i f(s_i)}} .

בדרך כלל מתייחסים אל איברי החבורה האבלית החופשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle FA(S)} בתור סכומים פורמליים באיברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} . כל סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n_i)_{i \in S}} מזוהה עם סכום פורמלי סופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum{n_i s_i}} . כך למשל מגדירים את ההרחבה לעיל על פי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f}(\sum{n_i s_i}) = \sum{n_i f(s_i)}} .

תכונות

בהתאם לבנייה, כל חבורה אבלית אחרת $A$ היא תמונה של החבורה האבלית החופשית, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון גם מנה שלה. פירוש הדבר הוא, שלכל חבורה אבלית הצגה כמו לחבורה האבלית החופשית המתאימה, יחד עם היחסים הנובעים מהמנה.

החבורה האבלית החופשית הציקלית (והחופשית) היחידה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} .

החבורה האבלית החופשית (עם שני יוצרים או יותר) איננה חבורה חופשית, שכן יש בה יחסים; היא החבורה החופשית בתוך הקטגוריה של החבורות האבליות (ואכן מקיימת את אותה התכונה שמקיימת החבורה החופשית בקטגוריית החבורות). זהו מקרה פרטי של בניית אובייקט חופשי בקטגוריה נתונה.

החבורה האבלית החופשית היא האבליניזציה של החבורה החופשית; זוהי החבורה החופשית בתוספת יחס החילופיות - כל שני יוצרים שלה מתחלפים.

לכל שתי קבוצות מאותה עוצמה אותה חבורה חופשית - פירוש הדבר הוא שזוהי החבורה של סכום פורמליים של סמלים, ולא משנה מהם הסמלים.

חבורה אבלית חופשית היא חבורה חסרת פיתול, וכל חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית. כאשר החבורות לא נוצרות סופית אין הטענה נכונה; הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{Q},+)} הם דוגמה לכך.

כל תת חבורה של חבורה אבלית חופשית אף היא אבלית חופשית. הוכחת משפט זה משתמשת באקסיומת הבחירה. זהו המשפט המקביל בחבורות אבליות למשפט נילסן-שרייר בחבורות כלליות. כאשר מדובר בחבורה אבלית חופשית נוצרת סופית, משפט המיון נותן תוצאה מפורשת - לכל בסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{e_1,..,e_n \}} של החבורה המקורית, קיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_1 \mid \dots \mid d_k} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{d_1 e_1, \dots , d_k e_k \}} בסיס לתת החבורה. המקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_i} לא תלויים בבחירת הבסיס.

חבורה אבלית חופשית היא מודול חופשי מעל חוג המספרים השלמים.

בטופולוגיה אלגברית, חבורת ההומולוגיה האפס של מרחב טופולוגי היא חבורה אבלית חופשית, על קבוצת מרכיבי הקשירות שלו. בשיטה זו אפשר גם לספור את מרכיבי הקשירות המסילתית של מרחבים מסוימים, ולמשל להוכיח בעזרת כלים של תורת ההומולוגיה את משפט עקומת ז'ורדן.

ראו גם

• סריג (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

• חבורה אבלית חופשית, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39245519חבורה אבלית חופשית