אלגברת ז'ורדן

אלגברת ז'ורדן היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל חוג אסוציאטיבי), שבה פעולת הכפל, שנסמן כאן ב- $\ x\bullet y$, מקיימת את שתי האקסיומות $\ x\bullet y=y\bullet x$ ו- $\ (x\bullet y)\bullet (x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))$. בשפה של אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, אפשר לבטא אקסיומות אלה כך: $\ L_{x}=R_{x}$ ו- $\ [L_{x},R_{x^{2}}]=0$. כל אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן, וכל אלגברת ז'ורדן היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.

מבנה זה הוגדר על ידי הפיזיקאי פסקואל יורדן (Pascual Jordan) בניסיון ליצור מסגרת מופשטת למכניקת הקוונטים, והוא קרוי על-שמו. למרות שהניסיון נכשל, נמצא שאלגברות ז'ורדן קשורות למבנים חשובים אחרים במתמטיקה, ובפרט לאלגברות לי ספורדיות.

היסטוריה

על-פי פרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים, הגדלים הנצפים בטבע הם תוצאת הפעלתן של מטריצות הרמיטיות (או באופן כללי יותר, אופרטורים צמודים לעצמם על מרחב הילברט). לאוסף הזה של מטריצות יש חסרון בולט: המכפלה של שתי מטריצות הרמיטיות איננה הרמיטית.

בראשית שנות השלושים ניסה הפיזיקאי פסקואל יורדן לבנות מערכת אלגברית שאבריה יהיו שווי-הערך של המטריצות ההרמיטיות, ללא המעטפת של אלגברת המטריצות הסטנדרטית. אם $\ x,y$ הן מטריצות הרמיטיות אז $\ x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)$ גם היא מטריצה הרמיטית. יורדן הבחין שהפעולה החדשה מקיימת את האקסיומות שהוזכרו במבוא, וביקש לבנות אלגברות שיקיימו את האקסיומות האלה, בלי להיעזר בפעולת הכפל הרגילה, האסוציאטיבית.

דוגמאות

מכל אלגברה אסוציאטיבית (ואפילו רק אלטרנטיבית מימין) A אפשר לבנות אלגברת ז'ורדן $A^{+}$, על ידי פעולת האנטי קומוטטור $\ \bullet$ שהוגדרה לעיל. האלגברה $A^{+}$ פשוטה אם ורק אם A פשוטה, ונילפוטנטית אם ורק אם A נילפוטנטית. (אם 2 אינו הפיך באלגברה, מגדירים $\ x\bullet y=xy+yx$, למרות שבמקרה זה הקשר בין האלגברה המקורית לחדשה אינו הדוק כל-כך).

האלגברות מהצורה $A^{+}$ נקראות אלגברות מיוחדות (special). (בדומה למשפט ארטין על אלגברות אלטרנטיביות, כל אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי שני אברים היא מיוחדת). מטרתו המיידית של יורדן הייתה למצוא אלגברות ז'ורדן שאינן מיוחדות; כדי לנסח מחדש את מכניקת הקוונטים, יורדן נזקק לאלגברות כאלה בעלות ממד שאינו חסום.

בניה נוספת מתקבלת מכל אלגברה אסוציאטיבית עם אינוולוציה: אוסף האברים הסימטריים, שבדרך כלל אינו סגור לכפל, סגור תחת פעולת האנטי-קומוטטור.

מיון

המשפט החשוב הראשון בתחום זה התקבל ב-1934, כאשר יורדן כתב מאמר משותף עם פון נוימן וויגנר. במאמר זה הם מוכיחים שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי שהיא גם ממשית באופן פורמלי (כלומר: אם $\ x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0$ אז בהכרח $\ x_{1}=\dots =x_{n}=0$), שייכת לאחת מחמש משפחות:

• מטריצות הרמיטיות (מכל סדר) מעל השדה הממשי, השדה המרוכב או אלגברת הקווטרניונים הסטנדרטית;
• מטריצות הרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת קיילי (ביחס לאינוולוציה הטבעית שלה),
• 'אלגברות ספין'.

האלגברות משלוש המשפחות הראשונות, כמו גם אלגברות הספין, כולן מיוחדות. מאידך, אלגברת קיילי (ובאופן כללי יותר, כל אלגברת אוקטוניונים), היא אלגברה אלטרנטיבית שאיננה אסוציאטיבית, ולכן לא היה ברור האם האלגברה בקבוצה האחרונה היא מיוחדת (בכך שהיא מתקבלת מאלגברה אסוציאטיבית), או לא. מעט אחר-כך הוכיח המתמטיקאי אדריאן אלברט שקבוצת המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת אוקטוניונים איננה מיוחדת. אלגברות אלה (ואלו ההופכות לכאלה לאחר הרחבת סקלרים) נקראות היום אלגברות אלברט, על-שמו. כולן אלגברות פשוטות, ממימד 27.

מאוחר יותר, ב-1963, התברר שקיימות זהויות (ממעלה 8 או יותר) שאותן מקיימת כל אלגברה מיוחדת (ובפרט המטריצות ההרמיטיות), ואשר אלגברת אלברט אינה מקיימת . אם יורדן היה יודע על אקסיומות חדשות אלה וכולל אותן בהגדרה שלו, התוצאה הייתה שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי חייבת להיות מיוחדת. אבל גם עם ההגדרה המקלה יותר, הממד הקטן של אלגברות אלברט אינו מאפשר להגשים את החזון של יורדן, לפתח תאוריה אלגברית נטולת מטריצות של המטריצות ההרמיטיות.

תורת המבנה במימד סופי

כמו בתורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים, לאלגברת ז'ורדן מממד סופי יש רדיקל נילי, שהוא האידאל הנילי הגדול ביותר; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ולכן הרדיקלים $\ \operatorname {Nil} J=\operatorname {Solv} J=\operatorname {Nilp} J$ שווים. חוג המנה ביחס לרדיקל הוא סכום ישר של אלגברות ז'ורדן פשוטות. באלגברות ז'ורדן מתקיימת גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן: אם $J/\operatorname {Nilp} J$ ספרבילית, אז יש תת-אלגברה B שהיא איזומורפית למנה, וכך ש-$\ J\cong B\oplus \operatorname {Nilp} J$ (סכום ישר של מרחבים וקטוריים).

המיון של אלגברות ז'ורדן פשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית (ממאפיין שונה מ-2) הושלם בידי נתן ג'ייקובסון בשנות ה-50, והוא דומה באופייו לזה שהתקבל על ידי ז'ורדן, פון-ניומן ו-ויגנר. בעשורים הבאים הוכיח ג'ייקבסון משפטי מיון נוספים, מעל שדה כללי (ממאפיין שונה מ-2). משפטים אלה תארו כיצד לבנות אלגברה פשוטה מאלגברה עם חילוק, אבל לא הוסיפו פרטים על האלגברות עם חילוק עצמן.

פירוק פירס

נניח שבאלגברת ז'ורדן J יש אידמפוטנט e. אז $\ J=J_{1}\oplus J_{1/2}\oplus J_{0}$, כאשר $\ J_{i}=\{x\in J:xe=ix\}$, המרכיבים $\ J_{0},J_{1}$ הם תת-אלגברות, $\ J_{0}J_{1}=J_{1}J_{0}=0$, $\ J_{i}J_{1/2}\subseteq J_{1/2}$ ל-i=0,1, ו-$\ J_{1/2}^{2}\subseteq J_{0}+J_{1}$.

תורת המבנה המודרנית

בראשית שנות השמונים המשיך יפים זלמנוב את מלאכת המיון הרבה מעבר למה שהיה ידוע קודם לכן. בהמשך קישר זלמנוב עבודות אלה לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר את בעיית ברנסייד המצומצמת; על עבודה זו זכה זלמנוב במדליית פילדס.

באלגברות ז'ורדן מוגדרת פעולה טרנארית $\ \{xyz\}=(x\bullet y)\bullet z+(z\bullet y)\bullet x-y\bullet (x\bullet z)$. איבר $\ a\neq 0$ המקיים $\ \{aJa\}=0$ הוא "מחלק אפס מוחלט", ואם קיימים כאלה, האלגברה מנוונת. בכל אלגברת ז'ורדן יש רדיקל לא מנוון, שהוא האידאל הגדול ביותר שחוג המנה ביחס אליו אינו מנוון. עבור אלגברות ז'ורדן ממימד סופי, הרדיקל הלא מנוון שווה לרדיקל הנילי. כל אלגברת ז'ורדן לא מנוונת היא מכפלה תת-ישרה של אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות. הרדיקל הלא מנוון של אלגברת ז'ורדן מכיל את הרדיקל הראשוני של J, ומוכל ברדיקל לויצקי שלה. מכאן אפשר להסיק שאלגברת ז'ורדן פשוטה אינה מנוונת.

אם A אלגברה אסוציאטיבית, אלגברת ז'ורדן המתאימה לה $\ A^{+}$ היא לא מנוונת, אם ורק אם A ראשונית למחצה, והרדיקל הלא מנוון של $\ A^{+}$ הוא הרדיקל הראשוני של A.

זלמנוב הוכיח שאלגברת ז'ורדן הפשוטה היחידה (לאו דווקא מממד סופי) שאינה מיוחדת, היא אלגברת אלברט מממד 27. הוא מיין את אלגברות ז'ורדן עם חילוק, את האלגברות הפשוטות, ולבסוף את האלגברות הראשוניות שאינן מנוונות. מן המיון הזה נובע שכל אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת היא או מיוחדת, או תת-חוג מלא של אלגברת אלברט. משפטים אלה ניתנים להכללה גם לזוגות ז'ורדן.

מבנים דומים

אלגברות ז'ורדן לא-קומוטטיביות

אלגברות ז'ורדן לא-קומוטטיביות מוגדרות על-פי הזהות הגמישה $\ L_{x}R_{x}=R_{x}L_{x}$ והזהות $\ [L_{x},R_{x^{2}}]=0$, כאשר $\ L_{x}$ ו-$\ R_{x}$ הן פעולות הכפל משמאל והכפל מימין ב-x, בהתאמה (בנוכחותה של זהות הגמישות, כל הנחה על-כך ש- $\ L_{x}$ או $\ R_{x}$ מתחלף עם $\ L_{x^{2}}$ או $\ L_{x^{2}}$ גוררת את כל האחרות). לכל x, הפעולות $\ L_{a^{i}},R_{a^{i}}$ מתחלפות כולן זו עם זו, ולכן יש לאלגברה חזקה אסוציאטיבית בהחלט. כל אלגברה ריבועית גמישה (כגון אלגברות קיילי-דיקסון) היא אלגברת ז'ורדן לא-קומוטטיבית.

נניח שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. האלגברה A היא אלגברת ז'ורדן לא-קומוטטיבית אם ורק אם היא גמישה, ו-$\ A^{+}$ (שבה מוגדר הכפל לפי $\ x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx)$) היא אלגברת ז'ורדן (קומוטטיבית). בכל אלגברה עם פעולה אנטי-סימטרית מתקיים $\ x^{2}=0$ ו- $\ R_{x}=-L_{x}$, ולכן כל אלגברה כזו היא אלגברת ז'ורדן לא-קומוטטיבית. בפרט, כל אלגברת לי בינארית (ולכן כל אלגברת מלצב, ובוודאי כל אלגברת לי) היא אלגברת ז'ורדן לא-קומוטטיבית.

למרות שבאלגברות ז'ורדן לא-קומוטטיביות ממד סופי יש רדיקל נילי, הן אינן מקיימות גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן.

מבנים נוספים

מאז שנות השישים של המאה העשרים הופיעו מערכות אלגבריות דומות לאלגברות ז'ורדן. בין אלה אפשר למנות: אלגברות ז'ורדן ריבועיות (המכלילות את התאוריה למאפיין 2), מערכות ז'ורדן משולשות, זוגות ז'ורדן וסופר-אלגברות ז'ורדן.

לקריאה נוספת

• Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebra
• Algebra VI, Chapter II.3, Kuzmin and Shestakov