הזהות הגמישה
באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות $ \ x(yx)=(xy)x $ נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את הזהות הגמישה.
קשרים
מן הזהות הגמישה נובע שהאסוציאטור מקיים את המולטילינאריזציה $ \ (x,y,z)+(z,y,x)=0 $, ובמאפיין שונה מ-2, שתי הזהויות שקולות.
הזהות הגמישה שקולה לכך שהקומוטטור $ \ [L_{x},R_{x}]=0 $, כאשר $ \ L_{x} $ ו- $ \ R_{x} $ הן פעולות הכפל משמאל ומימין ב-x.
פיזור פעולת הכפל
אם A היא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל שדה F, עם פעולת כפל $ \ \cdot $, אפשר להגדיר בה פעולת כפל חדשה, $ * $, לפי $ \ x*y=\alpha x\cdot y+\beta y\cdot x $, כאשר $ \ \alpha ,\beta \in F $ הם קבועים. איבר היחידה של $ \ (A,\cdot ) $ נשאר איבר יחידה גם ביחס לפעולה החדשה, אם $ \ \alpha +\beta =1 $. אם $ \ \alpha \neq \beta $, אפשר לשחזר את $ \ \cdot $ מן הפעולה $ * $, לפי הנוסחה $ \ x\cdot y=\alpha 'x*y+\beta 'y*x $ כאשר $ \ \alpha '={\frac {\alpha }{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}},\quad \beta '={\frac {\beta }{\beta ^{2}-\alpha ^{2}}} $.
אם A גמישה ביחס לפעולה המקורית, אז היא גמישה גם ביחס לפעולה החדשה.
במאפיין שונה מ-2, מסמנים ב- $ \ A^{+} $ את האלגברה הקומוטטיבית המתקבלת מההגדרה $ \ x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx) $, היינו $ \ \alpha =\beta ={\frac {1}{2}} $. בפרט, אם A גמישה, אז גם $ \ A^{+} $ גמישה (אם כי ההפך אינו בהכרח נכון).
מיון
במאפיין אפס, אם A גמישה ופשוטה למחצה, אז $ \ A^{+} $ אלגברת ז'ורדן.
בכל מאפיין שונה מ-2, אם A גמישה ופשוטה, ו-$ \ A^{+} $ אלגברת ז'ורדן פשוטה, אז מתקיים אחד משלושת התנאים הבאים: (1) A היא אלגברת ז'ורדן פשוטה; (2) A היא אלגברה ריבועית עם תבנית נורמה לא מנוונת, או (3) A היא "אסוציאטיבית למחצה": קיימת K/F ריבועית, כך ש- $ \ A\otimes _{F}K=B_{\lambda } $, כאשר B אלגברה פשוטה אסוציאטיבית מרכזית מעל K, והכפל ב- $ \ B_{\lambda } $ מוגדר על ידי פיזור הכפל של B: $ \ x*y=\lambda xy+(1-\lambda )yx $.
הזהות הגמישה30922393