אלגברת אלברט
במתמטיקה, אלגברת אלברט היא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. אלגברות אלברט מוגדרות מעל כל שדה ממאפיין שונה מ-2, והן אלגברות ז'ורדן הפשוטות היחידות שאינן נספחות לאלגברה אסוציאטיבית.[1]
הגדרה
תהי C אלגברת אוקטוניונים מעל שדה ממאפיין שונה מ-2. על אלגברת המטריצות בגודל 3x3 מעל C מוגדרת האינוולוציה של שחלוף והצמדת הרכיבים. אוסף המטריצות הסימטריות ביחס לאינוולוציה זו, עם הפעולה x*y=(xy+yx)/2, הוא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. כל אלגברה כזו נקראת אלגברת אלברט, בעקבות עבודתו של אדריאן אלברט מ-1934 שבה הוכיח שהן אכן פשוטות. ב-1947 הראה אלברט שכל אלגברת ז'ורדן פשוטה מיוחדת (היינו כזו שאינה נספחת לאלגברה אסוציאטיבית) היא אלגברת אלברט.
מבנה וקשרים
הקשר לאלגברות לי ולחבורות אלגבריות
מעל שדה ממאפיין אפס, אלגברת הנגזרות $ \ \operatorname {Der} (J) $ של אלגברת אלברט J היא אלגברת לי הפשוטה מטיפוס $ \ {\mathsf {F}}_{4} $, וממדה 52. אם נסמן ב-$ \ J_{0} $ את המרחב של פעולות הכפל של אברי J על האלגברה עצמה שהעקבה שלהן (כהעתקות ליניאריות) היא אפס, אז $ \ J_{0}+\operatorname {Der} (J) $ היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס $ {\mathsf {E}}_{6} $. בניות דומות מובילות לאלגברות לי הפשוטות מטיפוסים $ {\mathsf {E}}_{7} $ ו-$ {\mathsf {E}}_{8} $ (ראו ריבוע הקסם של פרוידנטל).
חבורת האוטומורפיזמים של אלגברת ז'ורדן היא חבורה אלגברית פשוטה, פשוטת קשר לחלוטין וקשירה מטיפוס $ \ {\mathsf {F}}_{4} $. החבורה (עד כדי איזומורפיזם של חבורות אלגבריות) קובעת את האלגברה (עד כדי איזומורפיזם של אלגברות). טענה דומה נכונה גם עבור אלגברות אוקטוניונים (שם חבורת האוטומורפיזמים היא מטיפוס $ {\mathsf {G}}_{2} $).
לקריאה נוספת
- H.P. Petersson, "A survey on Albert algebras", Transformation Groups, Vol. 24(1), 2019, pp. 219-278.
הערות שוליים
- ↑ אלגברת ז'ורדן הנספחת לאלגברה האסוציאטיבית A היא זו המתקבלת מפעולת הכפל x*y=(xy+yx)/2, או תת-אלגברות-ז'ורדן של כזו.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] אלגברת אלברט31323419