אלגברת אלברט

במתמטיקה, אלגברת אלברט היא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. אלגברות אלברט מוגדרות מעל כל שדה ממאפיין שונה מ-2, והן אלגברות ז'ורדן הפשוטות היחידות שאינן נספחות לאלגברה אסוציאטיבית.

הגדרה

תהי C אלגברת אוקטוניונים מעל שדה ממאפיין שונה מ-2. על אלגברת המטריצות בגודל 3x3 מעל C מוגדרת האינוולוציה של שחלוף והצמדת הרכיבים. אוסף המטריצות הסימטריות ביחס לאינוולוציה זו, עם הפעולה x*y=(xy+yx)/2, הוא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. כל אלגברה כזו נקראת אלגברת אלברט, בעקבות עבודתו של אדריאן אלברט מ-1934 שבה הוכיח שהן אכן פשוטות. ב-1947 הראה אלברט שכל אלגברת ז'ורדן פשוטה מיוחדת (היינו כזו שאינה נספחת לאלגברה אסוציאטיבית) היא אלגברת אלברט.

מבנה וקשרים

הקשר לאלגברות לי ולחבורות אלגבריות

מעל שדה ממאפיין אפס, אלגברת הנגזרות $\ \operatorname {Der} (J)$ של אלגברת אלברט J היא אלגברת לי הפשוטה מטיפוס $\ {\mathsf {F}}_{4}$, וממדה 52. אם נסמן ב-$\ J_{0}$ את המרחב של פעולות הכפל של אברי J על האלגברה עצמה שהעקבה שלהן (כהעתקות ליניאריות) היא אפס, אז $\ J_{0}+\operatorname {Der} (J)$ היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס ${\mathsf {E}}_{6}$. בניות דומות מובילות לאלגברות לי הפשוטות מטיפוסים ${\mathsf {E}}_{7}$ ו-${\mathsf {E}}_{8}$ (ראו ריבוע הקסם של פרוידנטל).

חבורת האוטומורפיזמים של אלגברת ז'ורדן היא חבורה אלגברית פשוטה, פשוטת קשר לחלוטין וקשירה מטיפוס $\ {\mathsf {F}}_{4}$. החבורה (עד כדי איזומורפיזם של חבורות אלגבריות) קובעת את האלגברה (עד כדי איזומורפיזם של אלגברות). טענה דומה נכונה גם עבור אלגברות אוקטוניונים (שם חבורת האוטומורפיזמים היא מטיפוס ${\mathsf {G}}_{2}$).

לקריאה נוספת

• H.P. Petersson, "A survey on Albert algebras", Transformation Groups, Vol. 24(1), 2019, pp. 219-278.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלגברת אלברט31323419