קומוטטור

במתמטיקה, קומוטטור הוא פונקציה דו-מקומית המוגדרת בדרך כלל בחוג או חבורה, הבודקת את ההתחלפות של זוג איברים ביחס לפעולת כפל נתונה. במילים אחרות, הקומוטטור בודק האם תכונת הקומוטטיביות של הכפל נכשלת עבור זוג איברים מסוימים. בהתאם, בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית, הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.

קומוטטור חיבורי וכפלי

בהינתן זוג איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} במבנה אלגברי נתון עם פעולת כפל, השאלה בה מתעניינים היא האם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab=ba} . אם קיימת במבנה אלגברי זה פעולת חיבור, שוויון זה מתקיים אם ורק אם $ab-ba=0$, ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b] = ab-ba} , ובמקרה זה הקומוטטור מכונה "חיבורי". אם קיימת במבנה אלגברי זה הופכי לפעולת הכפל, שוויון זה מתקיים אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle aba^{-1}b^{-1}=1} , ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b] = aba^{-1}b^{-1}} , ובמקרה זה הקומוטטור מכונה "כפלי".

הקומוטטור החיבורי

הקומוטטור החיבורי מתאים לחוג. במקרה זה פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה ביליניארית. אם קובעים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} בחוג נתון, אז ההומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \mapsto [r,s]} הוא נגזרת.

כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון: מעל שדה, כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור. כל איבר בעל עקבה אפס באלגברה פשוטה מרכזית הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים. כל איבר בעל עקבה אפס בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים (אבל לפעמים אינו קומוטטור בעצמו).

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות $\ [[a,b]^{2},c]=0$, שאותה מקיימת אלגברת המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M_2(F)} . במילים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\times 2} מעל שדה מקיימות את הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,b]^2c=c[a,b]^2} .

הקומוטטור הכפלי

הקומוטטור הכפלי מתאים לחבורה. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G'} ; זוהי בנייה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G/G'} היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב-$\ [N,K]$ את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [n,k]} של האיברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\in N, k\in K} . זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב-N וגם ב-K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [[a,b],[c,d]]} הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,b,c]=[[a,b],c]} (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי $\ [a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]=[[a_{1},a_{2},\dots ,a_{k-1}],a_{k}]$. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a_1,a_2,\dots,a_k]} מסומנת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_k} , וכך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G'=G_2} ובאופן כללי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_{k+1}=[G_k,G]} . חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה $\ G_{k+1}=1$.

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,b]=[b,a]^{-1}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,bc]=[a,b][a,c]^b} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^y} הוא סימון מקוצר לצמוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ yxy^{-1}} . זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: $\ [x,y^{-1},z]^{y}[y,z^{-1},x]^{z}[z,x^{-1},y]^{x}=1$. מזהות זו נובעת למת שלוש תת-החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]} . בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]} . אם כעת נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H=[L,L]} נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]} , כלומר $\ G''\subseteq G_{4}$. זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_{k+1}} . אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

מושגים דומים

אנטי-קומוטטור

כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{a,b\} = ab+ba} . אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

אסוציאטור

ערך מורחב – אסוציאטור

בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b,c)=(ab)c-a(bc)} . האסוציאטור מקיים את הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)} .

הקומוטטור בפיזיקה

בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ואגב כך לקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת, על כן זוהי תכונה שימושית ביותר. בניגוד לזה, כל שני אופרטורים A ו B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{2} | \lang i[A,B] \rang | \le \Delta A \cdot \Delta B}

כלומר, אי-אפשר למדוד את A ואת B בו-זמנית בדיוק מוחלט.

יחסי חילוף של אופרטורים קוונטים חשובים

• מיקום ותנע קווי - $\ [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} הוא אופרטור מיקום ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_j} הוא אופרטור תנע.

• תנע זוויתי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{ijk} } הוא טנזור לוי-צ'יויטה .

עם זאת, האופרטור $\ L^{2}$ מתחלף עם כל אחד מרכיביו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [L^2,L_j]=0}

• אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)]=\delta(\vec k_1-\vec k_2)} , ואילו אופרטורי יצירה וחיסול של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)\}=\delta(\vec k_1-\vec k_2)} . הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.

קישורים חיצוניים

• קומוטטור, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• קומוטטור, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32652948קומוטטור