אלגברה אלטרנטיבית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל שדה) שאבריה מקיימים את האקסיומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(xy)=(xx)y, \quad x(yy)=(xy)y} . כל אלגברה אסוציאטיבית, ממנה נדרשת האקסיומה החזקה יותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(yz)=(xy)z} , היא גם אלטרנטיבית. כל אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברת ז'ורדן לא-קומוטטיבית.

לינאריזציה של האקסיומות מביאה למסקנה שהאסוציאטור מקיים את הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_{\pi 1},x_{\pi 2},x_{\pi 3}) = \operatorname{sgn}(\pi)\cdot (x_1,x_2,x_3)} , ועל-כן נקרא שמן של אלגברות אלה "אלטרנטיביות" (בעברית, חילופיות).

במובן מסוים אקסיומת האלטרנטיביות אינה חלשה בהרבה מאסוציאטיביות: כל אלגברה אלטרנטיבית הנוצרת על ידי שני אברים היא אסוציאטיבית (משפט שהוכיח אמיל ארטין), ובפרט באלגברה אלטרנטיבית יש חזקה אסוציאטיבית. כל אלגברה פשוטה אלטרנטיבית היא או אסוציאטיבית, או אלגברת אוקטוניונים.

תכונות אלמנטריות

זהויות

אלגברות אלטרנטיביות מקיימות את הזהות הגמישה וגם את זהויות מופן (הימנית, האמצעית והשמאלית). מאידך, באלגברה עם יחידה מספיקות הזהות הימנית והשמאלית כדי להוכיח אלטרנטיביות; ובאלגברה עם יחידה וחילוק (כל אופרטורי הכפל הפיכים) מספיקה הזהות הימנית או השמאלית[1].

בכל אלגברה אלטרנטיבית ממאפיין זר ל-6, החזקה הרביעית של כל קומוטטור שייכת לגרעין, והחזקה הרביעית של כל אסוציאטור שייכת למרכז.

אברים הפיכים

בחוג אלטרנטיבי R, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell_a^{-1} = \ell_b} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_b^{-1} = r_a} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ab=ba=1} . במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b,R) = 0} .

אלטרנטיביות חד-צדדית

אלגברה המקיימת את האקסיומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(yy)=(xy)y} נקראת אלטרנטיבית מימין (ובדומה, אם מתקיימת האקסיומה השנייה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(xy)=(xx)y} , האלגברה אלטרנטיבית משמאל). במאפיין שאינו 2, כל אלגברה אלטרנטיבית מימין (או משמאל) היא אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית. בדרך כלל, אלגברה אלטרנטיבית מימין אינה בהכרח אלטרנטיבית משמאל, ולכן אינה אלטרנטיבית. עם זאת, אלטרנטיביות חד-צדדית גוררת אלטרנטיביות עבור אלגברות פשוטות למחצה, וכן עבור אלגברות המקיימות את הזהות הגמישה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(yx)=(xy)x} .

תורת מבנה

רדיקלים

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית מוגדר, כהכללה של המקרה האסוציאטיבי, בכמה דרכים מתלכדות. זהו האידאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר; חיתוך האידאלים השמאליים המודולריים המקסימליים (אידאל שמאלי הוא מודולרי אם הוא מכיל את כל האיברים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x-xe} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e \in R} מתאים; התנאי ריק בחוגים עם יחידה); וגם חיתוך הגרעינים של כל ההצגות האי-פריקות. החוג הוא פרימיטיבי למחצה אם הרדיקל מתאפס. כל חוג פרימיטיבי (כזה שיש בו אידאל שמאלי מודולרי מקסימלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי) הוא פרימיטיבי למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים, וכל חוג פרימיטיבי הוא או אסוציאטיבי, או אלגברת קיילי. במקרים חשובים רבים, רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, ולכן מתלכד עם הרדיקל הראשוני: כך הדבר בכל חוג אלטרנטיבי ארטיני, בכל אלגברת PI נוצרת סופית (Shestakov, 1983), וגם באלגברה האלטרנטיבית החופשית אם זו נוצרת סופית או בעלת מאפיין 0[2].

הרדיקל הראשוני הוא האידאל הראשוני-למחצה הקטן ביותר של החוג; זהו אידאל נילי, שבדרך כלל אינו נילפוטנטי. כאשר הרדיקל הזה מתאפס, החוג נקרא ראשוני למחצה. כל חוג אלטרנטיבי ראשוני-למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, וכל חוג ראשוני במאפיין שונה מ-3 הוא או אסוציאטיבי, או תת-חוג מלא של אלגברת קיילי (R הוא תת-חוג מלא אם הוא מכיל בסיס של האלגברה מעל המרכז שלה). התוצאה לגבי חוגים ראשוניים נכונה גם במאפיין 3, אם מניחים שרדיקל לויצקי מתאפס.

הרדיקל הפתיר של אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי הוא האידאל הנילי המקסימלי היחיד (ולכן שווה לרדיקל הנילי), והוא גם נילפוטנטי. אלגברת המנה ביחס לרדיקל היא פשוטה למחצה. בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי היא נילפוטנטית אם ורק אם היא נילית, אם ורק אם היא פתירה.

המשפט העיקרי של ודרברן חל על אלגברות אלטרנטיביות מממד סופי: אם A אלגברה כזו ו-N הרדיקל שלה, ואם המנה A/N ספרבילית, אז אפשר לשכן את המנה ב-A ויש פירוק לסכום ישר (של מרחבים וקטוריים), (A=N+(A/N.

לכל אלגברה אלטרנטיבית מימין A יש רדיקל נילי N; המנה A/N היא אלטרנטיבית (בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מימין ללא אברים נילפוטנטיים היא אלטרנטיבית). אלגברה אלטרנטיבית מימין נילית מממד סופי היא פתירה, אבל לא בהכרח נילפוטנטית.

אלגברות ראשוניות ופשוטות

משפט (מקס אוגוסט צורן): כל אלגברה אלטרנטיבית פשוטה היא או אסוציאטיבית, או אלגברת קיילי מממד 8 (אלגבראות קיילי הן הכללה של האוקטוניונים)[3]. אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל שדה F היא מכפלה ישרה של אלגבראות אלטרנטיביות פשוטות, שהמרכזים שלהן ספרביליים מעל F. בהכללה למשפט הקטן של ודרברן, אלגברה אלטרנטיבית סופית עם חילוק היא שדה.

הרחבות מרכזיות ופירוק פירס

הרחבת סקלרים של אלגברה אלטרנטיבית A, כלומר, אלגברה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A \otimes_F K} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} הרחבת שדות, גם היא אלטרנטיבית.

אם e אידמפוטנט (כלומר, איבר המקיים את השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^2=e} ), אז האלגברה מתפרקת לסכום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A=A_{00}+A_{01}+A_{10}+A_{11}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij} = \{x: ex=ix,\, xe=jx\}} (ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e\in A_{11}} ). זהו פירוק פירס (Peirce decomposition) של האלגברה. הכפל בין מרכיבים מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij}A_{kl} \subseteq A_{il}} אם j=k, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij}A_{kl} = 0} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ j \neq k} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (i,j)\neq (k,l)} . בנוסף לזה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij}A_{ij} \subseteq A_{ji}} . אלו תכונות דומות למקרה האסוציאטיבי, פרט להבדל אחד: שם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij}A_{ij}=0} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i \neq j} .

האלגברה החופשית

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית עם שלושה יוצרים, שווה לאפס. במקרה הכללי, הרדיקל כולל את כל האיברים הניליים, ושווה לאברי אידאל האסוציאטור המהווים זהויות של אלגברת קיילי. [4].

המקרה הקומוטטיבי

אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן. באלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מתקיימות הזהויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 3(x,y,z) = (x,y,z)^2 = 0} [5] (ולכן אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין שאינו 3 היא אסוציאטיבית).

אלגברות מדרגה 3

כל אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית עם יחידה מדרגה 3 מעל שדה F היא או הרחבה ספרבילית מממד 3, או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \oplus C} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C\neq F} אלגברת הרכבה (עם יחידה) [6].

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ פרק 4 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
  2. ^ עבור אלגבראות חופשיות: Algebra VI, Part II, עמ' 232.
  3. ^ ראה משפט 3.17 ב-An Introduction to Nonassociative Algebras, R.D Schafer. הוכחה למקרה של אלגברות עם חילוק: משפט 4.13 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
  4. ^ Algebra VI, Part II, עמ' 232.
  5. ^ למה 4.12 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
  6. ^ The Book of Involutions, משפט 34.17.
אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=אלגברה_אלטרנטיבית&oldid=306895"