זוג ז'ורדן

באלגברה, זוג ז'ורדן הוא מבנה אלגברי המכליל את אלגברות ז'ורדן.

המערכת מוגדרת מעל שדה ממאפיין שאינו 2 או 3, וכוללת שני מרחבים וקטוריים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^+,V^-} , וזוג פעולות תלת-מקומיות טריליניאריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^\pm\times V^\mp\times V^\pm\rightarrow V^\pm} (אותן מקובל לסמן בסימון המשותף $\ (x,y,z)\mapsto \{xyz\}$ ), המקיימות את אקסיומת הקומוטטיביות $\ \{xyz\}=\{zyx\}$ ואת האקסיומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xy\{uvz\}\}-\{uv\{xyz\}\} = \{\{xyu\}vz\}-\{u\{yxv\}z\}} .

דוגמאות

מערכות ז'ורדן משולשות

המקרה המיוחד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^+=V^-} נקרא מערכת ז'ורדן משולשת. במערכת ז'ורדן משולשת מוגדרת אינוולוציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)\mapsto (y,x)} , כך שמערכת ז'ורדן משולשת היא, בסופו של דבר, זוג ז'ורדן עם אינוולוציה. עם זאת, יש גם זוגות ז'ורדן ללא אינוולוציה (שבהם ממדי שני הרכיבים שונים זה מזה).

כל אלגברת ז'ורדן J מגדירה מערכת ז'ורדן משולשת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(J)=(J,J)} , עם הפעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyz\}=(x\bullet y)\bullet z + (z \bullet y) \bullet x - y \bullet(x \bullet z)} . מצד שני, בכל זוג ז'ורדן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (V^+,V^-)} ולכל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} באחד המרכיבים, הפעולה $\ x\bullet y=\{xay\}$ הופכת את המרכיב השני לאלגברת ז'ורדן.

אלגברות מדורגות

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R = R_{-1}+R_0+R_1} היא אלגברה (אסוציאטיבית) מדורגת, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(R) = (R_{-1},R_1)} הוא זוג ז'ורדן, ביחס לפעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyx\}=xyx} . אם R אלגברה (מדורגת) פשוטה לא טריוויאלית (היינו, אחד המרכיבים הקיצוניים אינו 0), אז גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V(R)} זוג ז'ורדן פשוט.

בניה דומה קיימת עבור אלגברות לי מדורגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L = L_{-1}+L_0+L_1} , שם אפשר להגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{xyz\}=[[x,y],z]} . זוגות ז'ורדן כאלה מאפשרים להכליל את הבניה של Tits-Kantor-Koecher, העומדת ביסודו של ריבוע הקסם של פרוידנטל. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V=(V^+,V^-)} הוא זוג ז'ורדן, ו-H אלגברה של נגזרות של הזוג המכילה את כל הנגזרות הפנימיות, אז $\ K_{H}(V)=V^{+}+H+V^{-}$ היא אלגברת לי מדורגת, ויש התאמה מלאה בין אלגברות לי מדורגות שבהן המרכיב האמצעי פועל בנאמנות על סכום שני האחרים, לבין זוגות ז'ורדן עם אלגברת נגזרות כנ"ל. בניה זו, ודומות לה, הן שאיפשרו לחקור את אלגברות לי הפשוטות בכלים מתחום התורה של אלגברות ז'ורדן והכללותיהן.