אי-שוויון מרקוב

אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי חיובי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעיתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסייה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

נוסח פורמלי

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה $ (X,\Sigma ,\mu ) $ ופונקציה מדידה $ f $ אל הישר הממשי המורחב, אז לכל $ t>0 $ מתקיים:

$ \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu . $

במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל $ a>0 $ מתקיים

$ \Pr(|X|\geq a)\leq {\frac {E(|X|)}{a}} $

.

הוכחה

מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה $ \{x\in X:f(x)\geq t\} $ מדידה. מתקיים:

$ t*1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}\leq f $

נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:

$ \int _{X}t*1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}d\mu \leq \int _{X}fd\mu $

לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:

$ t*\mu (\{x\in X:f(x)\geq t\})\leq \int _{X}fd\mu $

נחלק ב-t ונקבל:

$ \mu (\{x\in X:f(x)\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}fd\mu $

כנדרש.

הוכחה למשתנים מקריים

יהי $ X $ משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי:

$ E[X]=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)dx\geq \int _{a}^{\infty }xf_{X}(x)dx\geq \int _{a}^{\infty }af_{X}(x)dx=aP(|X|\geq a) $