הישר הממשי המורחב

במתמטיקה, הישר הממשי המורחב הוא המרחב הטופולוגי $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,\infty \right\}$, כאשר $-\infty ,\infty$ הם זוג איברים פורמליים חדשים, המסומן על ידי $\left[-\infty ,\infty \right]$ או ${\overline {\mathbb {R} }}$, עם הטופולוגיה הנוצרת על ידי הבסיס לקבוצות הפתוחות $\left\{\left(a,b\right)\mid a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}\right\}$.

אחת המוטיבציות להגדרת מרחב זה, היא האפשרות להכליל באופן פורמלי את מושג הגבול האינסופי. כך למשל ניתן להתבונן בפונקציה $f(x)=1/x$ כפונקציה מהצורה $f:\mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}$, ואז הסימון המקובל $\lim _{x\to 0}f(x)=\infty$ הופך להיות בעל משמעות טופולוגית מוגדרת. מוטיבציה ברוח דומה היא בתורת המידה, שם נהוג להשתמש באינטגרל לבג כאופרטור מהצורה $L^{1}(X,{\mathcal {F}},\mu )\to {\overline {\mathbb {R} }}$, ובכך לכלול בתחום ההגדרה של אופרטור האינטגרל גם פונקציות שהאינטגרל שלהן אינסופי.

ניתן להראות כי הישר הממשי המוכלל הוא קומפקטי. יתרה מזאת, הוא הומאומורפי לכל קטע ממשי סגור לא טריוויאלי. למשל $\phi :{\overline {\mathbb {R} }}\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ המוגדרת על ידי $\phi (t)=\left\{{\begin{matrix}\arctan(t),&{\mbox{if }}t\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\\-\infty ,&{\mbox{if }}t=-{\frac {\pi }{2}}\\\infty ,&{\mbox{if }}t={\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}\right.$ היא הומאומורפיזם.