תוחלת מותנית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות ובאופן כללי יותר בתורת המידה ואנליזה מתמטית, תוחלת מותנית הוא מושג המכליל באופן מרחיק לכת את מושג ההסתברות המותנית ואת מושג התוחלת.

לידתו של מושג זה נבעה מהרעיון האינטואיטיבי שההסתברות למאורע מסוים יכולה להשתנות אם מסיבה כלשהי יש בידינו מידע נוסף. רעיון זה היה ידוע עוד בראשית ימי תורת ההסתברות, אך מושג התוחלת המותנית מרחיב אותו הרבה יותר, בכך שהוא מאפשר ל"מידע הנוסף" כלפיו מחושבת התוחלת להיות עשיר ומדויק.

המושג הוגדר באופן מדויק לראשונה תוך שימוש במשפט רדון־ניקודים, על ידי המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב בשנת 1933 בספרו "יסודות תורת ההסתברות". קולמוגורוב הגדיר מושג זה של תוחלת מותנית ביחס למאורע או ביחס למשתנה מקרי אחר. רק מאוחר יותר, בשנת 1953, המתמטיקאים האמריקאים פול הלמוש וג'וזף דוב הכלילו את המושג של תוחלת מותנית ביחס לתת-סיגמא-אלגברה.

הגדרה

הגדרה נאיבית

בשלביה המוקדמים של תורת ההסתברות, לפני התגבשות המושג הפורמלי של מרחב הסתברות, תוחלת מותנית הוגדרה עבור משתנה מקרי בדיד, עבור שני מקרים שונים: תוחלת מותנית במאורע, שהיא מספר ממשי, ותוחלת מותנית במשתנה מקרי, שהיא משתנה מקרי אחר.

תוחלת מותנית במאורע

יהי $X$ משתנה מקרי בדיד. לכל מאורע $E$ , התוחלת המותנית של $X$ ביחס ל-$E$ מוגדרת על ידי

$$\mathbf {E} [X\mid E]={\frac {1}{|E|}}\sum _{\omega \in E}X(\omega )$$

תוחלת מותנית במשתנה מקרי

יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} משתנים מקריים. התוחלת המותנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , היא המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega \mapsto \mathbf{E} \left[ X \mid \left\{ Y^{-1} \left( \omega \right) \right\} \right]} .

הגדרה מודרנית

בשלבים מאוחרים יותר, כשהתגבש המושג של מרחב הסתברות, ההגדרה הוכללה הן ביחס למאורע הן ביחס למשתנה מקרי, והוגדרה ביחס לתת-סיגמא-אלגברה כלשהי של המרחב.

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)} מרחב הסתברות, ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} משתנה מקרי במרחב זה.

תוחלת מותנית במאורע

לכל מאורע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \in \mathcal{F}} המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( E \right) > 0} , התוחלת המותנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} , מוגדרת על ידי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid E \right] = \frac{ \mathbf{E} \left[ X \cdot 1_E \right] }{ \mathbb{P} \left( E \right)} = \int_{ \omega \in \Omega } X \left( \omega \right) \mathbb{P} \left( dX \left( \omega \right) \mid E \right)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( A \mid E \right) = \frac{ \mathbb{P} \left( A \cap E \right) }{\mathbb{P} \left( E \right)}} .

תוחלת מותנית בסיגמא-אלגברה

תהי ${\mathcal {G}}$ תת-סיגמא-אלגברה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} . לכל משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , התוחלת המותנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} , היא משתנה מקרי אחר שנסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right]} שהוא מדיד ביחס לסיגמא-אלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} , ומקיים את התכונה שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \in \mathcal{G}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{G} \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] d\mathbb{P} = \int_{G} X d\mathbb{P}}

זו הכללה, שכן אם רוצים להתנות במאורע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} או במשתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , ניתן לקחת את תת-הסיגמא-אלגברה להיות זו שנוצרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma \left( E \right) = \left\{ \emptyset, E, E^c, \Omega \right\}} ) או זו שנוצרת על ידי $Y$ (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma \left( Y \right) = \left\{ Y^{-1} \left( A \right) \mid A \in \mathcal{F} \right\}} ), ולהשתמש בלמה של דוב-דינקין.

באופן מפורש יותר, התוחלת המותנית במשתנה מקרי היא משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid Y \right]} , שמקיים את התכונה הבאה: לכל משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} , מתקיים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \left( \mathbf{E} \left[ X \mid Y \right] \circ Y \right) \cdot \left( Z \circ Y \right) d\mathbb{P} = \int X \cdot \left( Z \circ Y \right) d\mathbb{P}}

העובדה שמשתנה מקרי כזה אכן קיים כלל אינה מובנת מאליה, ו"משפט התוחלת המותנית" שקובע את הקיום של מושג זה עושה שימוש במשפט רדון-ניקודים.

משפט התוחלת המותנית

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)} מרחב הסתברות, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} תת-סיגמא-אלגברה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} .

נסמן באופן כללי ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^1 \left( \mathcal{F} \right)} את מרחב המשתנים המקריים המדידים ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} ושהם בעלי תוחלת סופית.

אזי קיים אופרטור תוחלת מותנית מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ \cdot \mid \mathcal{G} \right]: L^1 \left( \mathcal{F} \right) \to L^1 \left( \mathcal{F} \right)} המוגדר ביחידות כמעט תמיד, המקיים את התכונות הבאות:

1. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] \in L^1 \left( \mathcal{G} \right)}
2. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} ולכל $G\in {\mathcal {G}}$ מתקיים,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{G} \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] d\mathbb{P} = \int_{G} X d\mathbb{P}} ניתן למעשה להראות עוד, כי אופרטור התוחלת המותנית הוא אופרטור לינארי.

אחת הדרכים להראות את קיום ויחידות אופרטור התוחלת המותנית היא על ידי משפט רדון-ניקודים, באופן הבא: כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} שהוא אי-שלילי, משרה מידת הסתברות חדשה המוגדרת לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \in \mathcal{G}} על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}_X \left( G \right) = \int_G X d\mathbb{P}} . מידת ההסתברות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}_X} רציפה בהחלט ביחס למידת ההסתברות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}} על קבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} , ולכן ממשפט רדון-ניקודים קיימת נגזרת רדון-ניקודים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ d\mathbb{P}_X }{ d\mathbb{P} } \in L^1 \left( \mathcal{G} \right)} יחידה כמעט תמיד. נגזרת רדון-ניקודים זו היא התוחלת המותנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} .

עבור משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} שהוא לאו-דווקא אי-שלילי, נתבונן במשתנה המקרי השלילי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_- = \min \left\{ 0, X \right\}} ובמשתנה המקרי החיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_+ = \max \left\{ 0,X \right\}} . נפעיל את הטיעון הקודם על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_+} ועל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -X_-} , ונסכום את נגזרות רדון-ניקודים המתקבלות.

דרך נוספת להראות קיום ויחידות של אופרטור התוחלת המותנית היא באמצעות התורה של מרחבי הילברט, דרך מושג ההטלה לתת מרחב. כך, רואים את מרחב הפונקציות המדידות ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}} כתת-מרחב סגור של מרחב הפונקציות המדידות ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} .

תכונות

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)} מרחב הסתברות, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} תת-סיגמא-אלגברה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} .

1. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} ולכל משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y \in L^1 \left( \mathcal{G} \right)} שהוא חסום, מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ YX \mid \mathcal{G} \right] = Y \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right]} .
2. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{G} \right)} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] = X} .
3. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] \leq \mathbf{E} \left[ \left| X \right| \mid \mathcal{G} \right]} .
4. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in L^1 \left( \mathcal{F} \right)} , אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בלתי תלוי ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ X \mid \mathcal{G} \right] = \mathbf{E} \left[ X \right]} .
5. משפט התוחלת השלמה: $\mathbf {E} \left[\mathbf {E} \left[\cdot \mid {\mathcal {G}}\right]\right]=\mathbf {E} \left[\cdot \right]$.
6. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} תת-סיגמא-אלגברה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{G}} , מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ \mathbf{E} \left[ \cdot \mid \mathcal{G} \right] \mid \mathcal{H} \right] = \mathbf{E} \left[ \cdot \mid \mathcal{H} \right]} .

דוגמה גרפית

מרחב הסתברות בדוגמה זו הוא קטע היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ 0,1 \right]} עם מידת לבג. הסיגמא-אלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} היא סיגמא-אלגברת לבג הסטנדרטית. הסיגמא-אלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}} היא זו הנוצרת על ידי קטעים שקצוותיהם מתוך 0, ¼, ½, ¾, 1. הסיגמא-אלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{C}} היא זו הנוצרת על ידי קטעים שקצוותיהם מתוך 0, ½, 1.

• התוחלת המותנית בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} היא הקו הצבוע אדום (כלומר פשוט המשתנה המקרי עצמו).
• התוחלת המותנית בהינתן ${\mathcal {B}}$ היא הקו הצבוע ירוק.
• התוחלת המותנית בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{C}} היא הקו הצבוע תכלת.