הטלה (מתמטיקה)
הטלה (באנגלית: projection) באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית היא העתקה ליניארית ממרחב וקטורי לעצמו המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים. תוצר ההטלה, קרי הווקטור שבתת-המרחב הליניארי המוגדר, יקרא ההיטל.
דוגמה
נסתכל בווקטור ב-$ \mathbb {R} ^{3} $ אותו אפשר לרשום בצורה $ {\displaystyle v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}} $ הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור $ {\hat {x}} $ תחזיר $ P_{x}v=v_{x}{\hat {x}} $. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: $ P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}} $.
אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל $ P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}} $. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.
הגדרה
יהי $ V $ מרחב וקטורי ותהי $ P:V\rightarrow V $ העתקה ליניארית. $ P $ תיקרא הטלה על תת-מרחב של $ V $, אם $ P^{2}=P $. כלומר, אם נפעיל את $ P $ פעמיים על וקטור במרחב, נקבל תוצאה זהה כפי שנקבל לו היינו מפעילים את $ P $ על אותו וקטור פעם אחת בלבד. באופן כללי באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית המקיימת תכונה זו נקראת פונקציה אידמפטונטית (Idempotent).
באופן שקול, אם נחלק את $ V $ לסכום ישר של תת-מרחבים, $ V=U\oplus W $, אזי לכל וקטור $ v\in V $ קיימים $ u\in U $ ו-$ w\in W $ כך שמתקיים $ v=u+w $. נאמר שההעתקה הליניארית $ E:V\to V $ היא הטלה על $ W $ אם היא מקיימת $ E(v)=w $.
ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.
מטריצת ההטלה
- מטריצה ריבועית $ P $ תיקרא מטריצת ההטלה אם היא מקיימת $ P^{2}=P $.
- מטריצה ריבועית $ P $ תיקרא מטריצת ההטלה האורתוגונלית אם היא מקיימת $ P^{2}=P=P^{T} $ כאשר $ P $ מטריצה ממשית, או אם היא מקיימת $ P^{2}=P=P^{*} $ כאשר $ P $ מטריצה מרוכבת.
- הערכים העצמיים של מטריצת הטלה הם 0 או 1
תכונות
יהי $ V $ מרחב וקטורי עם הטלות $ E_{1},E_{2},\dots ,E_{k} $ על התת-המרחבים $ W_{1},W_{2},\dots ,W_{k} $ בהתאמה אזי לכל $ 1\leq i\leq k $ מתקיים:
- $ E_{i}^{2}=E_{i} $
- $ E_{i}E_{j}=0 $ לכל $ i\neq j $
- $ \operatorname {Im} E_{i}=W_{i} $
- $ V=\operatorname {Ker} E_{i}\oplus \operatorname {Im} E_{i} $
- $ E_{i} $ ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
- תהי $ T:V\to V $ העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים $ W_{i} $ הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם $ TE_{i}=E_{i}T $ (בהתאמה לתת-המרחב)
שימושים
בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).
בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.
הטלה (מתמטיקה)39708217Q519967