הטלה (מתמטיקה)

הטלה (באנגלית: projection) באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית היא העתקה ליניארית ממרחב וקטורי לעצמו המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים. תוצר ההטלה, קרי הווקטור שבתת-המרחב הליניארי המוגדר, יקרא ההיטל.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-$\mathbb {R} ^{3}$ אותו אפשר לרשום בצורה

$$v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}$$

הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור ${\hat {x}}$ תחזיר $P_{x}v=v_{x}{\hat {x}}$. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: $P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}}$.

אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל $P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}$. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי ותהי $P:V\rightarrow V$ העתקה ליניארית. $P$ תיקרא הטלה על תת-מרחב של $V$, אם $P^{2}=P$. כלומר, אם נפעיל את $P$ פעמיים על וקטור במרחב, נקבל תוצאה זהה כפי שנקבל לו היינו מפעילים את $P$ על אותו וקטור פעם אחת בלבד. באופן כללי באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית המקיימת תכונה זו נקראת פונקציה אידמפטונטית (Idempotent).

באופן שקול, אם נחלק את $V$ לסכום ישר של תת-מרחבים, $V=U\oplus W$, אזי לכל וקטור $v\in V$ קיימים $u\in U$ ו-$w\in W$ כך שמתקיים $v=u+w$. נאמר שההעתקה הליניארית $E:V\to V$ היא הטלה על $W$ אם היא מקיימת $E(v)=w$.

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

מטריצת ההטלה

• מטריצה ריבועית $P$ תיקרא מטריצת ההטלה אם היא מקיימת $P^{2}=P$.

• מטריצה ריבועית $P$ תיקרא מטריצת ההטלה האורתוגונלית אם היא מקיימת $P^{2}=P=P^{T}$ כאשר $P$ מטריצה ממשית, או אם היא מקיימת $P^{2}=P=P^{*}$ כאשר $P$ מטריצה מרוכבת.
• הערכים העצמיים של מטריצת הטלה הם 0 או 1

תכונות

יהי $V$ מרחב וקטורי עם הטלות $E_{1},E_{2},\dots ,E_{k}$ על התת-המרחבים $W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}$ בהתאמה אזי לכל $1\leq i\leq k$ מתקיים:

1. $E_{i}^{2}=E_{i}$
2. $E_{i}E_{j}=0$ לכל $i\neq j$
3. $\operatorname {Im} E_{i}=W_{i}$
4. $V=\operatorname {Ker} E_{i}\oplus \operatorname {Im} E_{i}$
5. $E_{i}$ ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
6. תהי $T:V\to V$ העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים $W_{i}$ הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם $TE_{i}=E_{i}T$ (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הטלה (מתמטיקה)39708217Q519967