באלגברה לינארית הטלה היא סוג של העתקה לינארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב לינארי מסוים.
דוגמה
נסתכל בווקטור ב-
אותו אפשר לרשום כ-
, אזי הטלתו על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור
תחזיר
. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל:
אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל
. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.
הגדרה
יהי
מרחב וקטורי
ותהי
העתקה לינארית.
תיקרא הטלה על תת-מרחב של
אם
. איבר באלגברה המקיים
נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).
באופן שקול אם נחלק את V לסכום ישר של תתי-מרחב
, אזי לכל וקטור
קיימים
ו-
כך ש
. נאמר שההעתקה הלינארית
היא הטלה על
אם היא מקיימת
.
ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית. הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.
תכונות
יהי
מרחב וקטורי עם הטלות
על תתי-המרחב
בהתאמה אזי לכל
מתקיים:
![{\displaystyle E_{i}^{2}=E_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02a9516e01c59822c850d4ad30fab254e4347ac)
לכל ![{\displaystyle i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95aeb406bb427ac96806bc00c30c91d31b858be)
![{\displaystyle ImE_{i}=W_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5658b76dd9daf80e62a1fd24cb021990cf299316)
![{\displaystyle V=KerE_{i}\oplus ImE_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869927e434eb1d5eac46e55d361ecee4f034695b)
ניתנת ללכסן, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
- יהי
העתקה לינארית, אזי תתי-המרחב
הינם תתי-מרחב שמורי T אם ורק אם
(בהתאמה לתת-המרחב)
שימושים
בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).
בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.