הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו $\ A$ תחת ההנחה שמאורע אחר $\ B$ קרה. הסתברות מותנית נכתבת בתור $\ P(A\,|\,B)$ ומתוארת כהסתברות של $\ A$ בהינתן $\ B$. התאור המתמטי של הסתברות מותנית נתון באמצעות הנוסחה

$$\ P(A\,|\,B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$$

ההסתברות המותנית אינה מעידה על קשר סיבתי או כרונולוגי בין המאורעות, אלא רק על תלות של המידע לגבי התרחשות המאורע $\ A$ בהתרחשות המאורע $\ B$. כך למשל ייתכן כי הסתברותו של המאורע "ראובן הצליח במבחן" גדלה בהינתן המאורע "ראובן ישן היטב בלילה", אך אין זה אומר ששינה טובה גורמת להצלחה; ייתכן למשל כי במקרה של ראובן, שינה טובה מעידה על ביטחון עצמי גבוה בגלל שראובן למד היטב, וזהו הגורם להצלחה במבחן.

ההסתברות המותנית אינה סימטרית, כלומר ההסתברות של $\ A$ בהינתן $\ B$ לא בהכרח שווה להסתברות $\ B$ בהינתן $\ A$. עם זאת תלות בין מאורעות היא כן סימטרית, כלומר אם ההסתברות של $\ A$ בהינתן $\ B$ שונה מההסתברות של $\ A$, אז גם ההסתברות של $\ B$ בהינתן $\ A$ שונה מההסתברות של $\ B$. כך למשל ההסתברות למאורע "קלרה דוברת אנגלית" גדלה משמעותית בהינתן כי "קלרה היא תושבת אנגליה", אולם ההסתברות למאורע "קלרה היא תושבת אנגליה" גדלה במידה מסוימת אך לא באופן משמעותי בהינתן כי "קלרה דוברת אנגלית", היות שרוב דוברי האנגלית בעולם אינם תושבי אנגליה.

הקשר שבין ההסתברות המותנית $\ P(A\,|\,B)$ לבין ההסתברות המותנית $\ P(B\,|\,A)$, מתואר באופן מתמטי באמצעות חוק בייס.

משתנה מקרי מותנה

אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב $\ \Omega$, ו- $\ A\subset \Omega$ הוא מאורע בעל הסתברות חיובית, אפשר להגדיר את המשתנה המותנה $\ X|A$, שההסתברויות שלו הן $\ P(X=x\,|\,A)={\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}$. המשתנה הזה מתקבל מצמצום ההתפלגות של המשתנה X אל המאורע A, כלומר, משינוי מרחב ההתפלגות על ידי הוספת הנחה ש- A אירע.

דוגמה

מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי?

נגדיר את $\ A$ כמאורע "עבר אדם אכפתי", ואת $\ B$ כמאורע "המכונית לא חולצה". המאורע $\ A\cap B$ הוא "עבר אדם אכפתי, והמכונית לא חולצה". מאורע זה ניתן לפירוק לשני מאורעות משנה: עבר אדם אכפתי שלא מבחין במכונית (הסתברות 1/4, שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהם אינם מבחינים); או - עבר אדם אכפתי שהבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות 1/8, שכן חצי מהאנשים אכפתיים, ורק רבע מהם גם מבחינים במכוניות וגם בעלי כישורים טכניים). שני מאורעות המשנה לא יכולים להתרחש יחד, ולכן ההסתברות של המאורע הכולל (עבר אדם אכפתי והמכונית לא חולצה) היא סכום ההסתברויות:

$$\ P(A\cap B)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3}{8}}$$

כדי לחשב את הסתברות המאורע $\ B$, נחשב ראשית את ההסתברות של המאורע המשלים - אדם שעובר יחלץ את המכונית (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים) - שהיא 1/8=1/2x1/2x1/2. מכאן, ההסתברות שאדם שעובר לא יחלץ את המכונית היא

$$\ P(B)=1-{\frac {1}{8}}={\frac {7}{8}}$$

ולכן:

$\ P(A\,|\,B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {3}{8}}{\frac {7}{8}}}={\frac {3}{7}}$.

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, הכוכב, הסמים והכומר - סקירה של משפט בייס, באתר "נסיכת המדעים"