תהליך וינר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
חמישה מימושים של תהליך וינר, עם סטיית תקן של התהליך באפור.

במתמטיקה, תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי ממשי ורציף הנקרא על שמו של המתמטיקאי האמריקאי נורברט וינר בעקבות מחקריו על התכונות המתמטיות של התנועה הבראונית החד-ממדית.[1] תהליך וינר נקרא גם תנועה בראונית בשל הקשר ההיסטורי עם התהליך הפיזיקלי אשר נצפה במקור על ידי הבוטנאי הסקוטי רוברט בראון. זהו אחד המקרים הפרטיים החשובים של תהליכי לוי (אנ') ויש לו יישומים רבים במתמטיקה, פיזיקה, כלכלה וביולוגיה.

במתמטיקה תהליך וינר הוא מרטינגל ולמעשה הוליד את המחקר של מרטינגלים בזמן רציף. זהו תהליך מרכזי שניתן לתאר באמצעותו תהליכים סטוכסטיים מורכבים. ככזה, הוא ממלא תפקיד חיוני בחשבון סטוכסטי (אנ'). תהליך וינר משמש ביצירת העקומה המקרית; האבולוציה של שרם-לואנר (אנ').

בפיזיקה תהליך וינר משמש לחקר תנועה בראונית, דיפוזיה של חלקיקים זעירים בנוזל וסוגים אחרים של דיפוזיה באמצעות משוואת הדיפוזיה, משוואת פוקר-פלאנק ומשוואת לנז'בן. הוא גם מהווה את הבסיס לניסוח פורמלי של אינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים (לפי נוסחת פיימן-כץ (אנ'), ניתן להציג פתרון למשוואת שרדינגר במונחים של תהליך וינר) ומשמש בחקר היקום התופח בקוסמולוגיה פיזיקלית.

ניתן להציג את תהליך וינר כאינטגרל סטוכסטי (אנ') של תהליך גאוסי (אנ') ("רעש לבן") עם תוחלת אפס, ושונות 1.[2] לכן תהליך וינר שימושי כמודל של רעש בהנדסת אלקטרוניקה (ראה רעש בראוני), שגיאות מכשירים בתורת המסננים והפרעות בתורת הבקרה.

לתהליך וינר יש חשיבות במתמטיקה פיננסית, בפרט במודל בלאק ושולס לתמחור נגזרים.

הגדרה של תהליך וינר

תהליך וינר חד־ממדי הוא תהליך סטוכסטי ממשי, , , המקיים:[3]

  1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_0= 0} כמעט בוודאות.
  2. ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} יש תוספות זרות בלתי תלויות: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t>0} , התוספות העתידיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{t+u} - W_t} אינן תלויות בערכי העבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_s} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s<t} .
  3. ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} יש תוספות נורמליות: ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{t+u} - W_t} יש התפלגות נורמלית עם תוחלת ושונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{t+u} - W_t\sim \mathcal N(0,u)} .
  4. ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} יש כמעט בוודאות נתיבים רציפים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_t} הוא כמעט בוודאות רציף ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} .

המשמעות שלתהליך יש תוספות זרות בלתי תלויות היא שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\leq s_1<t_1\leq s_2<t_2} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{t_1}-W_{s_1}} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{t_2}-W_{s_2}} הם משתנים מקריים בלתי תלויים, תכונה דומה מתקיימת עבור תוספות.

תהליך וינר כגבול של הילוך מקרי

נתונים משתנים מקריים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_1, \xi_2, \ldots} בלתי תלויים ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושונות 1. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , נגדיר תהליך סטוכסטי בזמן רציף לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,t \in [0,1]} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .W_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{1\leq k\leq\lfloor nt\rfloor}\xi_k} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_n} מתאר הילוך מקרי. התוספות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_n} הן בלתי תלויות. לפי משפט הגבול המרכזי כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} שואף לאינסוף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_n(t)-W_n(s)} שואף ל - . ממשפט דונסקר נובע כי כאשר כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} שואף לאינסוף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_n} שואף לתהליך וינר.[4]

מימוש של תהליך וינר תלת־ממדי

כמו בהילוך מקרי, תהליך וינר הוא צפוף בממד אחד או בשני ממדים (כלומר שהוא חוזר כמעט בוודאות לכל סביבה נתונה של הראשית אינסוף פעמים) בעוד שהוא אינו צפוף בשלושה ממדים ומעלה (תהליך וינר רב ממדי הוא תהליך שהקואורדינטות שלו הן תהליכי וינר בלתי תלויים).[5]

הדגמה של שינוי קנה מידה, מראה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1/\sqrt c) W_{ct}} כאשר מקטינים את c. שימו לב שהתכונות הממוצעות של הפונקציה אינן משתנות בזמן התקרבות, ושימו לב שההתקרבות היא באופן ריבועי מהר יותר אופקית מאשר אנכית.

שלא כמו הילוך מקרי, תהליך וינר לא משתנה עם שינוי בקנה מידה, כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{1}{\sqrt{c}}\ W_{c t}} הוא תהליך וינר לכל קבוע חיובי שונה מאפס.

הצגה באמצעות טורי פורייה מקריים

וינר (1923) נתן גם ייצוג של תהליך וינר במונחים של טור פורייה מקרי. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_n} הם משתנים נורמליים בלתי תלויים עם תוחלת אפס ושונות אחד, אז

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_t = \xi_0 t+ \sqrt{2}\sum_{n=1}^\infty \xi_n\frac{\sin \pi n t}{\pi n}}

ו-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_t = \sqrt{2} \sum_{n=1}^\infty \xi_n \frac{\sin \left(\left(n - \frac{1}{2}\right) \pi t\right)}{ \left(n - \frac{1}{2}\right) \pi} }

מייצגים תהליך וינר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב (אנ')).

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא תהליך וינר בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ N.Wiener Collected Works vol.1
  2. ^ Huang, Steel T.; Cambanis, Stamatis (1978). "Stochastic and Multiple Wiener Integrals for Gaussian Processes". The Annals of Probability. 6 (4): 585–614. doi:10.1214/aop/1176995480. ISSN 0091-1798. JSTOR 2243125.
  3. ^ Durrett, Rick (2019). "Brownian Motion". Probability: Theory and Examples (5th ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781108591034.
  4. ^ Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion (2001)
  5. ^ "Pólya's Random Walk Constants". Wolfram Mathworld.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

38796314תהליך וינר

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=תהליך_וינר&oldid=2633608"