נוסחת אוילר (שברים משולבים)

בתאוריה האנליטית של שברים משולבים, נוסחת אוילר לשברים משולבים היא זהות מתמטית הקושרת סכומים סופיים של מכפלות עם שברים משולבים מוכללים. הנוסחה מאפשרת להציג טורים אינסופיים מסוימים כשבר משולב. נוסחה זו היא הבסיס להוכחות מודרניות רבות של התכנסות שברים משולבים.

הנוסחה

לאונרד אוילר הציג את הזהות במקור כמניפולציה מתמטית המאפשרת להציג סכומים סופיים של מכפלות כשבר משולב סופי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+\cdots+a_0a_1a_2\cdots a_n=\cfrac{a_0}{1-\cfrac{a_1}{1+a_1-\cfrac{a_2}{1+a_2-\cfrac{\ddots}{\ddots\dfrac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}-\cfrac{a_n}{1+a_n}}}}}}}}

קל להוכיח את הזהות באמצעות אינדוקציה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , ולפיכך הזהות ישימה בגבול; אם הביטוי באגף שמאל מורחב ומייצג טור אינסופי מתכנס, הביטוי באגף ימין ייצג שבר משולב אינסופי מתכנס.

דוגמאות

פונקציית האקספוננט

פונקציית האקספוננט ניתנת להצגה כפיתוח לטור אינסופי:

$e^{z}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {z}{k}}\right)$

היישום של זהות אוילר הוא מיידי:

$e^{z}={\dfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\frac {1}{2}}z-{\cfrac {{\frac {1}{3}}z}{1+{\frac {1}{3}}z-{\cfrac {{\frac {1}{4}}z}{1+{\frac {1}{4}}z-\ddots }}}}}}}}}}$

שבר משולב זה שקול לשבר המשולב הבא:

$e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-\ddots }}}}}}}}}}$

מהצבת $z=1$ מתקבלת ההצגה המפורסמת של e כשבר משולב אינסופי שאינו מחזורי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+{\cfrac{4}{5+\ddots}}}}}}}