קבוצה פורשת

קבוצה פורשת (או קבוצת יוצרים) היא קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציג כצירוף ליניארי כל וקטור במרחב הנפרש.

קבוצת כל הצירופים הליניאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} מסומנת בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Sp(A)} . (קיצור של המילה Span, פרישה באנגלית). ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה $\ A$". בהתאם לכך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S} פורשת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} אם ורק אם $\ V=Sp(S)$.

קבוצה פורשת מינימלית, או קבוצה פורשת בלתי תלויה, מהווה בסיס למרחב הווקטורי. אם משמיטים מקבוצה כזו וקטור אחד (או יותר), היא כבר לא פורשת. אם קבוצה זו אינה מינימלית אז קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף ליניארי של האחרים ולכן היא תלויה ליניארית.

דוגמאות

• הקבוצה $\{1\}$ פורשת את קבוצת המספרים הממשיים, מפני שכל מספר ממשי הוא צירוף ליניארי שלה (כי לכל מספר ממשי $x$ קיים $\lambda \in \mathbb {R}$ כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \lambda \cdot 1} ). בדומה, כל קבוצה של מספרים ממשיים (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{8\}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \N} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{5,3.6\}} ) פורשת את קבוצת כל המספרים הממשיים ׁ(אבל לאו דווקא פורשת מינימלית), למעט הקבוצה הריקה ויחידון האפס (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{0\}} ).
• הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{(3,0)\}} פורשת את המרחב $A=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}$, כי לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in A} , קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \R} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \lambda \cdot (3,0)} .

בהתאם לדוגמאות שלעיל נוכל לסמן:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R = Sp( \{ 1\}) = Sp(\{ 8\})=Sp(\N)}

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=Sp(\{(3,0)\})} .

אינטואיציה

נתבונן במערכת צירים הקרטזית הדו-ממדית, למעשה זו מערכת המתוארת על ידי שני הווקטורים (1,0) ו-(0,1) כאשר הם פורסים את כל המרחב. כל וקטור ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של שני וקטורי היחידה האלה. אמנם, למרות שהכי נוח להשתמש במערכת צירים זו אין זו מערכת הצירים היחידה שפורשת את המרחב, למעשה כל זוג וקטורים שאינם תלויים ליניארית יכולים לפרוס את המרחב. אם הווקטורים תלויים ליניארית המשמעות של זה שהם "יושבים" על אותו ישר ולכן אינם יכולים לפרוס את המרחב.

אפשר לתת משל ממכונית על שלט, דמיין לעצמך שיש לך מכונית על שלט בעלת מקש שליטה אחד, לעולם לא תוכל להגיע איתה לכל מקום על מרחב הרצפה כי השליטה שלך היא רק האם להזיז את המכונית קדימה ואחורה. אבל אם נוסיף למכונית עוד כפתור שליטה שנע הצידה, למעשה קיבלנו שליטה בשני וקטורי כיוון שאינם תלויים ליניארית ובעזרתם נוכל להגיע (אם נקיש את "הצירוף ליניארי" הרצוי) לכל מקום ברצפה.

עתה תדמיין לעצמך שכפתור השליטה השני אינו פונה ימינה ושמאלה אלא מקבל זווית מסוימת, שינוי זה אולי ישנה את הנוחות אבל לא ישנה את העובדה שאני יכול להגיע לכל נקודה שאבחר (עם צירוף ליניארי אחר) רק במקרה שהכפתור השני ישלוט גם הוא על מעלה מטה (אפילו אם יש לו רגישות שונה) לא נוכל לפרוש את המרחב, כי הווקטורים תלויים ליניארית.

עתה נרחיב את מושג הפריסה למערכת מרובת ממדים, אם למשל יש לנו רחפן, נצטרך עוד כפתור שליטה, כי רחפן הוא יצור תלת ממדי ולכן הוא צריך 3 וקטורים שונים כדי לפרוס את המרחב. ובהכללה כל מרחב ממימד n יצרוך n וקטורים בלתי תלויים ליניארית כדי לפרוס אותו ולהוות לו בסיס.

לקריאה נוספת

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 בפברואר 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. נבדק ב-27 בספטמבר 2011. {{cite web}}: (עזרה)
• Brian P. Rynne & Martin A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis, page 4, Springer מסת"ב 978-1848000049.

קישורים חיצוניים

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of linear algebra. 6 באוגוסט 2016 – via YouTube. {{cite web}}: (עזרה)
• קבוצה פורשת, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29996830קבוצה פורשת