פונקציית רימן

ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זטא של רימן, ראו פונקציית זטא של רימן.

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית שקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי $\ f\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {1}{q}}$ (כאשר השבר מצומצם, כלומר $p,q$ זרים זה לזה), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות. (ב- $x=0$ ערך הפונקציה הוא $1$ , כמו בכל מספר שלם).

הפונקציה מוכרת גם בשמות "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" ופונקציית תומה (Thomae's function; על שם המתמטיקאי הגרמני קארל יוהנס תומה).

נקודות אי-הרציפות של הפונקציה

הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית. מכאן שקבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה היא צפופה, אך בעלת מידה אפס.

הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן (עם אינטגרל אפס) בכל קטע חסום, אך אינה רציפה ואינה מונוטונית באף קטע.

פונקציה נוספת עם אותן נקודות אי-רציפות

נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה $\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , ונגדיר $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ לפי $g(x)=\sum _{\{n|r_{n}<x\}}{\frac {1}{2^{n}}}$ . כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.

קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה

קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת $F_{\sigma }$ ( איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות). מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזאת, אין פונקציה שנקודות אי-הרציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.

הוכחה

נוכיח שנקודות אי-הרציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי $x$ מספר רציונלי, אז $f(x)\neq 0$ , אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל- $x$ , ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן ש- $x$ היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח ש- $x$ אי-רציונלי, ויהי $\ \epsilon >0$ . בקטע באורך יחידה סביב $x$ יש רק מספר סופי של נקודות שבהן $\ f(t)\geq \epsilon$ (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב $x$ שבו $|f(t)-f(x)|=f(t)<\epsilon$ ומכאן ש- $f$ רציפה בנקודה $x$ .