פונקציית ויירשטראס

פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

לפי משפט הקטגוריה של בייר, אוסף הפונקציות הרציפות $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).

הגדרת הפונקציה היא:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)

כאשר $0<a<1$ ו- $b$ שלם אי-זוגי ועבורם $ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$ .

גרף הפונקציה

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\cos(21^{n}\pi x)

פונקציית ויירשטרס מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).

היא כנראה פרקטל, מאחר שממד האוסדורף של הפונקציה קטן או שווה ${\frac {\log(a)}{\log(b)}}+2$ ; הערך המדויק אינו ידוע, אבל משערים שהוא שווה לחסם העליון שאיננו מספר שלם.