קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול

החלקיק האדום נע בנוזל זורם, קו המסלול שלו מסומן באדום. דיו כחול מוזרק מהראשית וקצה השובל מלווה את החלקיק, אולם בשונה מקו המסלול הסטטי (אשר מתעד את התנועה הקודמת של החלקיק),דיו אשר מוזרק לאחר שהנקודה האדומה מתנתקת ממשיך לנוע מעלה עם הזרם (זהו קו סימון). הקווים המקווקים מתארים את שדה מהירות הזורם  (קווי זרם) אשר מראים את תנועת הזורם באותו הזמן.

 זרימת נוזל מאופיינת בווקטור מהירות תלת ממדי ${\vec {u}}=(u,v,w)$ . במסגרת מכניקת הרצף קווי זרם, קווי מסלול וקווי סימון הם קווי שדה הנובעים מהשדה הווקטורי של תיאור הזרימה.הם נבדלים רק כאשר הזרימה משתנה בזמן כלומר בתנאי שהזרימה איננה תמידית.

•  קווי זרם הם משפחת עקומות אשר משיקים רגעית לווקטור מהירות הזרימה. קו הזרם מראה את כיוון תנועתו של חלקיק חסר מסה בכל רגע בזמן. (קווי הזרם הם עבור זמן נתון, בדומה לתמונה).
•  קווי סימון הם המיקום הגאומטרי של כל חלקיקי הנוזל שעברו ברציפות דרך נקודה ספציפית בעבר. ניתן לראות את קווי הסימון על ידי הזרקת צבע בנקודה מסוימת בשדה הזרימה (קווי הסימון הם עבור פרק זמן רציף, בדומה להסרטה).
•  קווי מסלול הם מסלולים שמבדילים בין חלקיקים של הזרימה. ניתן לדמיין זאת כ"הקלטה" של מסלול חלקיק לאורך זמן. כיוון קווי המסלול יקבע לפי קווי הזרם של שדה הזרימה בכל רגע בזמן.  

 בהגדרה, קווי זרם באותו הרגע אינם נחתכים מכיוון שלחלקיק נוזל לא יכולות להיות שתי מהירויות בו-זמנית. בנוסף ניתן להוכיח שהספיקה הנפחית בין שני קווי זרם סמוכים קבועה. בתמונת קווי זרם של תופעת זרימה צפיפות קווי זרם מעידה על מהירות זרימה גבוהה ודלילות קווי זרם מעידה על מהירות זרימה נמוכה.

 באותו האופן קווי סימון אינם יכולים לחתוך את עצמם או קווי סימון אחרים, מכיוון ששני חלקיקי נוזל לא יכולים להיות באותו הזמן באותה הנקודה; אלא אם כן ישנה ראשית משותפת עבור שני קווי סימון שונים. אולם, קווי מסלול רשאים לחתוך את עצמם או קווי מסלול אחרים (חוץ מנקודת ההתחלה ונקודת הסוף של קווי סימון שונים שאמורים להיבדל זה מזה).

 אם קו עקום או עקום סגור משמש כנקודת התחלה עבור מערכת של קווי זרם מתמשכים התוצאה היא משטח זרם. במקרה של עקום סגור בזרימה תמידית, נוזל אשר נמצא בתוך משטח הזרם יישאר בתוך משטח הזרם לנצח, זאת מכיוון וקווי הזרם משיקים למהירות.

 פונקציה סקלרית אשר קווי המתאר שלה מגדירים את קווי הזרם ידועה בתור "פונקציית הזרם".

ביטויים מתמטיים

קווי זרם

קווי זרם מוגדרים על ידי: 

${d{\vec {x}}_{S} \over ds}\times {\vec {u}}({\vec {x}}_{S})=0,$

כאשר  "$\times$" היא מכפלה וקטורית ו-${\vec {x}}_{S}(s)$  הוא הייצוג הפרמטרי של קו זרם יחיד בזמן כלשהו.

אם רכיבי המהירות מוגדרים על ידי הווקטור  ${\vec {u}}=(u,v,w)$ ורכיבי קווי הזרם מוגדרים על ידי הווקטור  ${\vec {x}}_{S}=(x_{S},y_{S},z_{S})$ , המשוואה הנ"ל מצטמצמת ל:

${dx_{S} \over u}={dy_{S} \over v}={dz_{S} \over w}$

צינור זרימה מורכב ממספר קווי זרם, בדומה לכבל תקשורת, מה שמראה שקווי הזרם משיקים למהירות.

כאן s הינו משתנה המתאר את העקום: $s\mapsto {\vec {x}}_{S}(s)$. קווי הזרם מחושבים רגעית, כלומר ברגע מסוים הם מחושבים עבור שדה זרימה נתון מווקטור מהירות הזרימה הרגעי.

קווי מסלול

תמונה אשר צולמה בזמן חשיפה ארוך ממדורה מראה את קווי המסלול של זרם האוויר החם.

קווי מסלול מוגדרים על ידי:

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{P}}{dt}}={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{P},t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{P}(t_{0})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}$

האינדקס $P$ מציין שאנו עוקבים אחר תנועת חלקיק זרימה.

נשים לב שבנקודה ${\vec {x}}_{P}$ העקום מקביל לווקטור המהירות ${\vec {u}}$, אשר מחושב בנקודה ${\vec {x}}_{P}$ בזמן $t$.

קווי סימון

דוגמה לקו סימון אשר משמש להמחשת זרימה סביב רכב בתוך מנהרת רוח.

קווי סימון מתוארים על ידי:

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{P}}{dt}}={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{P},t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{P}(t=\tau _{P})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}$

כאשר ${\vec {u}}_{P}$ היא מהירות החלקיק $P$ במיקום ${\vec {x}}_{P}$ בזמן $t$. המשתנה $\tau _{P}$ מתאר את קו הסימון ${\vec {x}}_{P}(t,\tau _{P})$ ו- $0\leq \tau _{P}\leq t_{0}$ כאשר $t_{0}$ הוא הזמן בו אנו מעוניינים.

זרימה תמידית 

בזרימה תמידית (כאשר וקטור המהירות איננו תלוי בזמן) קווי הזרם, המסלול והסימון מתלכדים.

זאת מכיוון שכאשר חלקיק הנמצא על קו זרם מגיע לנקודה $a_{0}$, בהמשך המשוואות השולטות בשדה בזרימה ישלחו אותו בכיוון ${\vec {x}}$ מסוים. כאשר המשוואות השולטות לא משתנות בזמן, חלקיק נוסף אשר יגיע לנקודה $a_{0}$ יישלח אף הוא באותו כיוון ${\vec {x}}$. כאשר הזרימה איננה תמידית, חלקיק נוסף אשר יגיע לנקודה $a_{0}$ ישלח בכיוון אחר.

שימושים

ידיעה של קווי הזרם יכולה להיות שימושית בדינמיקת הזרימה. למשל, משוואת ברנולי המגדירה את הקשר בין הלחץ למהירות מתוארת לאורך קו זרם.

עקמומיות של קו זרם קשורה לגרדיאנט הלחץ הפועל בניצב אליו. מרכז העקמומיות של קו הזרם נמצא בכיוון ירידת הלחץ הרדיאלי. גודל גרדיאנט הלחץ הרדיאלי יכול להיות מחושב ישירות מצפיפות הזורם, עקמומיות קו הזרם והמהירות המקומית.

מהנדסים משתמשים בהזרקת צבע בתוך מים או עשן באוויר על מנת לראות קווי סימון אשר מהם ניתן לחשב קווי מסלול. התבניות המתקבלות משמשות כדי ליצור עיצוב אשר יפחית את כוח הגרר.

ראו גם

• כוח גרר
• מכניקת הזורמים
• הידרודינמיקה
• משוואת ברנולי
• ספיקה

הערות שוליים

מדיה וקבצים בנושא קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול בוויקישיתוף