פונקציה רב-ערכית

במתמטיקה, פונקציה רב-ערכית היא יחס מלא. כלומר, לכל אבר (ערך) בקבוצת התחום מותאם אבר (ערך) אחד לפחות בקבוצת הטווח. בשל ריבוי הערכים האפשרי, השם "פונקציה רב-ערכית" הוא מטעה מעט, שכן פונקציה צריכה להתאים לכל אבר בתחום אבר אחד ויחיד מהטווח. עם זאת, ניתן להסתכל על פונקציה רב-ערכית מהתחום $A$ לטווח $B$ בתור פונקציה חד-ערכית מהתחום $A$ לקבוצת החזקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} (כלומר, כפונקציה המתאימה לכל אבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצת אברים מתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} ) ואז ההגדרה היא תקינה פורמלית.

דוגמאות

פונקציית השורש הריבועי היא רב-ערכית, שכן לכל מספר ממשי או מרוכב יש בדיוק שני שורשים מרוכבים (על פי המשפט היסודי של האלגברה), כשהמספר שונה מ-0 הם שונים. לכן פונקציית השורש הריבועי, כשהיא מופעלת על מספר כלשהו, מחזירה שני ערכים. מכיוון ששני המספרים נבדלים ביניהם רק בסימנם, נהוג לרוב לצמצם את הפונקציה כך שתחזיר רק את הערך החיובי מבין השניים, ואז היא פונקציה חד-ערכית תקינה.

הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן רב-ערכיות שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות. למשל, מתקיים

$\sin(0)=\sin(\pi )=\sin(2\pi )=\cdots =0$

ולכן ניתן לחשוב על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsin(0)} כמחזירה ערכים רבים, ביניהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0,\pi,2\pi,\ldots} . לכן נהוג לצמצם גם את הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות לקטע שבו הן חד-ערכיות, למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]} .

באופן כללי, הגבלת טווח הערכים של פונקציה לכזה שבו הפונקציה חד-ערכית נקרא "לקיחת ענף". באופן פורמלי יותר, ענף של פונקציה רב ערכית הוא פונקציה חד-ערכית, שהערך שהיא מקבלת בכל נקודה שייך לקבוצת הערכים שהפונקציה הרב-ערכית יכולה לקבל באותה נקודה, ובנוסף לכך היא רציפה.

בשל דרישת הרציפות, כאשר מגדירים ענף של פונקציה עשויות להתקבל נקודות, שכאשר הפונקציה מקבלת ערכים על מסלול שמקיף אותן, היא עוברת בין ענפים שונים של הפונקציה הרב-ערכית. נקודות כאלו מכונות נקודות הסתעפות.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0