פוטנציאל וקטורי (פיזיקה)

בפיזיקה, פוטנציאל וקטורי הוא שדה וקטורי, המסומן לרוב ${\vec {A}}$, ממנו ניתן לקבל את השדה המגנטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B } על ידי פעולת הרוטור:

.הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B= \vec\nabla \times \vec A }

באנליזה וקטורית, כל שדה וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec U } , ממנו נגזר שדה וקטורי אחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec V = \vec\nabla \times \vec U } , מכונה פוטנציאל וקטורי.

מוטיבציה

הפוטנציאל הווקטורי דומה בתפקידו לפוטנציאל החשמלי (הקרוי גם פוטנציאל סקלרי) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi } (באלקטרוסטטיקה), ממנו ניתן לקבל את השדה החשמלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E } על ידי פעולת הגרדיאנט: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E = - \vec\nabla \phi } . קיום הפוטנציאל החשמלי נובע מכך שהשדה החשמלי האלקטרוסטטי הוא שדה משמר, כלומר הרוטור שלו מתאפס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec\nabla \times \vec E = 0 } .

לעומת זאת, השדה המגנטי אינו מקיים באופן כללי ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=0$ (אינו שדה משמר) ולכן לא ניתן להגדיר עבורו פוטנציאל סקלרי. כלומר עבור שדה מגנטי כללי, לא קיים שדה סקלרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi } כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B = \vec\nabla \phi } .

מאידך גיסא, השדה המגנטי הוא חסר מקורות ומקיים ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ ומכאן שניתן למצוא שדה וקטורי ${\vec {A}}$ כך ש ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$. שדה זה הוא הפוטנציאל הווקטורי.

הפוטנציאל הווקטורי, בדומה לפוטנציאל הסקלרי, מפשט חישובים רבים הנוגעים לשדה המגנטי.

יש לציין כי במקרה של שדות חשמליים ומגנטיים התלויים בזמן, הפוטנציאל הווקטורי קובע לא רק את השדה המגנטי, אלא גם את השדה החשמלי לפי חוק פאראדיי, ומתקיים (ביחידות cgs) ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$.

חופש כיול

הפוטנציאל הווקטורי של שדה מגנטי נתון אינו נקבע באופן יחיד. אם ${\vec {A}}$ הוא פוטנציאל וקטורי לשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B } אזי גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A' = \vec A + \vec\nabla \psi } (עבור כל שדה סקלרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi } ) הוא פוטנציאל וקטורי הקובע את אותו השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B } (כיוון ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec\nabla \times \vec\nabla\psi = 0 } ). תכונה זו קרויה חופש כיול. חופש הכיול מאפשר לבחור את הפוטנציאל הווקטורי באופן בו יהיה נוח להשתמש בו.

לדוגמה, כל אחד מבין השדות הווקטורים הבאים הוא פוטנציאל וקטורי לשדה המגנטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B = (0,0,B_0) } (שדה אחיד בכיוון ציר z):

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A = (0,B_0 x,0) }
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A =(-B_0 y,0,0) }
• ${\vec {A}}={\frac {1}{2}}(-B_{0}y,B_{0}x,0)$

קיימות מספר בחירות מקובלות לכיול הפוטנציאל הווקטורי, ביניהן:

• כיול קולון - כיול זה שימושי במגנטוסטטיקה (שדות וזרמים שאינם תלויים בזמן). בכיול זה בוחרים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A } כך שיקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec A = 0 } . במקרה זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים את משוואת פואסון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 \vec A = - \frac{4\pi}{c} \vec J } (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec J } צפיפות הזרם), שפתרונה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A = \frac{1}{c}\int\frac{\vec J(\vec {r}')}{|\vec r - \vec{r}'|}d^3 r'}

• כיול לורנץ - כיול זה שימושי בבעיות דינמיות. בכיול זה בוחרים את הפוטנציאלים הווקטורי והסקלרי כך שיתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec\nabla\cdot \vec A +\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} =0 } . בכיול זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים משוואת גלים מן הצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 \vec A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c}\vec J }

פוטנציאל וקטורי בתורת היחסות

בתורת היחסות הפרטית מאוגד הפוטנציאל הווקטורי יחד עם הפוטנציאל הסקלרי ל-4-וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{\mu} =( \phi, \vec A ) } .

ראו גם

• פוטנציאל חשמלי
• שדה מגנטי

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31734075פוטנציאל וקטורי (פיזיקה)