מגנטוסטטיקה

מגנטוסטטיקה הוא תחום בפיזיקה העוסק בחקר שדות מגנטיים, עבור זרמים הקבועים בזמן. ענף זה הוא האנלוג המגנטי של תורת האלקטרוסטטיקה, עבורה המטענים נייחים. משוואות המגנטוסטטיקה יכולות לשמש על מנת לחזות אירועים המאופיינים בשינויים מגנטיים מהירים, המתרחשים בזמנים מסדר גודל של נאנו-שניות ואף פחות מכך. יתר על כן, המגנטוסטטיקה מהווה קירוב טוב גם כאשר הזרמים אינם קבועים בזמן- בהנחה שאין מדובר בזרמי AC.

יישומים

מגנטוסטטיקה כמקרה פרטי של משוואות מקסוול

מתוך משוואות מקסוול, בהנחה שצפיפות זרם המטענים קבועה, ניתן לרשום את המשוואות כשתי משוואות עבור שדה חשמלי (ראה אלקטרוסטטיקה) וכשתי משוואות עבור השדה המגנטי. השדות אינם תלויים בזמן או אחד בשני. משוואות המגנטוסטטיקה, הן בייצוגן הדיפרנציאלי והן בייצוגן האינטגרלי, מוצגות בטבלה הבאה.

שם	ייצוג דיפרנציאלי	ייצוג אינטגרלי
חוק המגנטיות של גאוס (אין מטענים מגנטיים):	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$
חוק אמפר:	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mathbf {J}$	$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }$

כאשר B הוא השדה המגנטי. האינטגרל העליון הוא אינטגרל משטחי, המתבצע על פני משטח סגור.

J מסמל את צפיפות הזרם הנפחי. כמו כן האינטגרל התחתון הוא אינטגרל מסלולי, המתבצע לאורך לולאה סגורה, על שפת משטח פתוח.

B הוא השדה המגנטי הנוצר בכיוון הלולאה, ו- $\scriptstyle I_{\text{enc}}$ הזרם הנכנס לציר הלולאה.

הפתרון עבור השדה המגנטי

מקורות זרם

בהנחה שכל הזרמים במערכת ידועים (כלומר, אם קיים תיאור מלא של צפיפות הזרם במרחב) ניתן למצוא את השדה המגנטי בנקודה כלשהי r, בעזרת חוק ביו-סבר:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$

נוסחה זו מהווה קירוב טוב עבור בעיות בהן התווך הוא ואקום או אוויר, או כל חומר עם קבוע פראמאביליות הקרוב ל- 1. יתרון מרכזי של משוואה זו, הוא טיפול בבעיות עם גאומטריה מורכבת, עבורן נוכל לסכום את סך התרומות האינפיניטסימליות עבור כל אלמנט נפח. עבור בעיות בעלות גאומטריה מאד סבוכה, ניאלץ להשתמש באינטגרציה נומרית.

דיברגנס השדה המגנטי תמיד אפס, לכן, לפי משפט יסודי באנליזה וקטורית, ניתן לרשום את השדה המגנטי כנגזרת של פוטנציאל וקטורי:

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$

והקשר בין צפיפות הזרם לבין הפוטנציאל הווקטורי:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.$

ראו גם

• אלקטרוסטטיקה