פוטנציאל חשמלי

באלקטרוסטטיקה, הפוטנציאל החשמלי (מסומן לרוב ב-$\ \phi$ או ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} ) הוא האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית ליחידת מטען.
בעבור מטען בוחן, אותו נהוג לסמן באות q, פוטנציאל חשמלי בכל נקודה הוא היחס בין האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של מטען הבוחן q, לבין גודל המטען.

בדומה לאנרגיה פוטנציאלית, הפוטנציאל החשמלי נקבע רק עד כדי קבוע, התלוי בנקודת יחוס שניתנת לבחירה. לכן, הגודל בעל המשמעות הפיזיקלית אינו הפוטנציאל עצמו (שכאמור, לערכו האבסולוטי אין חשיבות), אלא: ההפרש בין ערכי הפוטנציאל בנקודות שונות, הפרש המכונה מתח חשמלי. גודל זה הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי, כדי להעביר מטען בוחן בין הנקודות. בעבור גופים סופיים, מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מקבל ערך אפס ב"אינסוף" (באופן מעשי: במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית); ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי שווה לעבודה (ליחידת מטען) שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי, כדי להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף.

הפוטנציאל החשמלי הוא פונקציה סקלרית של המרחב (כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = \varphi (\vec r)} ). הפוטנציאל נמדד ביחידות של וולט במערכת היחידות SI, ובסטטוולט במערכת היחידות CGS.

הגדרה מתמטית

השדה החשמלי האלקטרוסטטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E } הוא שדה משמר (מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \nabla \times \vec E = 0 } ). מכאן נובע קיומה של פונקציה סקלרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi } מתוכה ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi$. פונקציה זו היא הפוטנציאל החשמלי.

את הפוטנציאל החשמלי ניתן לחשב על ידי קביעת ערכו באופן שרירותי בנקודה מסוימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(\vec r_0)=0 } , ולאחר מכן ערכו בכל נקודה אחרת יחושב על ידי אינטגרציה של השדה החשמלי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(\vec r) = -\int \vec E \cdot d\vec r } כאשר האינטגרציה מתבצעת על גבי מסילה כלשהי המחברת בין הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r_0,\vec r } .

דוגמאות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

שדה ופוטנציאל של דיפול חשמלי. החצים מתארים את השדה החשמלי והקווים הרציפים הם קווים שווי פוטנציאל (מחברים נקודות בעלות אותו פוטנציאל)

• הפוטנציאל החשמלי סביב מטען נקודתי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q } הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{kq}{r} } , כאשר $\ r$ הוא המרחק מן המטען, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k } קבוע קולון.
• הפוטנציאל החשמלי שיוצר תיל "אינסופי" טעון בצפיפות מטען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda } הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -2k\lambda \ln \left(\frac{r}{r_0}\right) } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r } הוא המרחק מהתיל ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_0 } נקודת יחוס שרירותית בה הפוטנציאל מתאפס (בדוגמה זו הגוף הטעון איננו סופי ולכן ההגדרה $\varphi (\infty )=0$ אינה נוחה). ביטוי שקול הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2k\lambda ln(r)+C} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הוא קבוע אינטגרציה.

משמעות פיזיקלית

הפוטנציאל החשמלי הוא לא האנרגיה הפוטנציאלית אלא האנרגיה הפוטנציאלית מחולקת במטען. לכן למכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q\varphi(\vec r)} יש משמעות של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית שיש למטען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} כשהוא נמצא בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r} (הקשר בין פוטנציאל ואנרגיה, דומה, אם כן, לקשר בין השדה החשמלי לכוח החשמלי). כיוון שיש חופש בבחירת נקודת יחוס בה הפוטנציאל מתאפס, רק להפרשי פוטנציאל בין נקודות שונות יש משמעות פיזיקלית. הפרש זה, הקרוי מתח, הוא העבודה ליחידת מטען שיש להשקיע כנגד השדה החשמלי על מנת להעביר מטען בוחן בין שתי הנקודות. מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מתאפס ב"אינסוף" (במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית) ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע על מנת להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף.

צורת הפוטנציאל קובעת את האופן בו ינועו מטענים. סימן המינוס בהגדרת הפוטנציאל גורם לכך שמטענים חיובים ינועו מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך ואילו מטענים שליליים ינועו מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה. באופן מדויק יותר, הכוח שיפעל על המטענים הוא בכיוון גרדיאנט הפוטנציאל עבור מטען שלילי ובכיוון הפוך לכיוון הגרדיאנט עבור מטען חיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\vec F = q \vec E= -q\vec \nabla \phi) } .

הפוטנציאל החשמלי ומשוואת פואסון

מחוק גאוס נובע כי הפוטנציאל החשמלי מקיים את משוואת פואסון:

$\nabla ^{2}\phi =-4\pi k\rho$.

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho } צפיפות המטען במרחב ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k } קבוע קולון.

בהינתן התפלגות מטען כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho } , פתרון המשוואה עבור הפוטנציאל הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi (\vec r) = k \int \frac{\rho(\vec r^')}{|\vec r - \vec r^'|} d\vec r^' }

הפוטנציאל החשמלי באלקטרומגנטיות

בנוכחות שדה מגנטי משתנה בזמן, השדה החשמלי אינו שדה משמר ומתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} } . לכן לא ניתן להגדיר פוטנציאל חשמלי באופן דומה למקרה האלקטרוסטטי ממנו ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E = -\vec \nabla \phi } . למרות זאת, ניתן במקרה זה לגזור את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל הווקטורי ${\vec {A}}$ והכללה כלשהי של הפוטנציאל החשמלי (פוטנציאל סקלרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi } ).

למרות שהשדה החשמלי אינו משמר, השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t} } כן משמר וניתן לגזור אותו מתוך פוטנציאל סקלרי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}= -\vec \nabla \phi } .

כלומר במקרה זה, אין לפוטנציאל החשמלי משמעות של אנרגיה, אך ניתן להיעזר בו ובפוטנציאל הווקטורי על מנת לקבל את השדה החשמלי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E =- \frac{\partial \vec A}{\partial t} -\vec \nabla \phi }

חופש כיול

כיוון שהשדה החשמלי נגזר מתוך שילוב של הפוטנציאל הווקטורי והסקלרי, חופש הכיול של הפוטנציאל הווקטורי גורר גם חופש כיול לפוטנציאל הסקלרי. כלומר הפוטנציאלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A+\vec \nabla \Lambda , \phi -\frac{\partial \Lambda}{\partial t}} (עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Lambda} כלשהי) מתארים אותם שדות חשמליים ומגנטיים כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec A, \phi } .

4-וקטור הפוטנציאל

בניסוח יחסותי של האלקטרומגנטיות, מאוגדים הפוטנציאל הסקלרי והווקטורי ל-4-וקטור $A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})$. 4-וקטור הפוטנציאל משמש להגדרת טנזור השדה האלקטרומגנטי.

ראו גם

• מתח חשמלי
• פוטנציאל וקטורי (פיזיקה)
• שדה חשמלי
• הארקה

קישורים חיצוניים

• פוטנציאל חשמלי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32919500פוטנציאל חשמלי