משפט מינקובסקי

משפט מינקובסקי הוא תוצאה בסיסית בתחום המכונה 'גאומטריה של מספרים', השייך לתורת המספרים. את המשפט הוכיח הרמן מינקובסקי ב- 1889.

נניח ש- L הוא סריג במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^n} . נסמן את הנפח של המקבילון היסודי שלו ב- C. (הדוגמה הפשוטה ביותר היא הסריג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}^n} הכולל את הנקודות שכל הרכיבים שלהן שלמים. המקבילון היסודי במקרה זה הוא קוביית היחידה, והנפח שלו הוא C=1). המשפט עוסק בקבוצות סימטריות ביחס לראשית (כלומר, קבוצות הכוללות יחד עם כל נקודה x גם את הנקודה הנגדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -x} ), וקובע שקבוצה סימטרית קמורה, שהנפח שלה עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^nC} , מוכרחה להכיל לפחות נקודה אחת של L פרט לאפס (אם ידוע שהקבוצה קומפקטית, הטענה נכונה גם אם הנפח שווה לחסם, ולא רק גדול ממנו).

ממשפט זה נובע שכל מחלקה של אידיאלים שבריים בחוג השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathcal{O}_K} של שדה מספרים K מכילה אידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} , עם נורמה $\ N(I)\leq {\frac {n!}{n^{n}}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}\cdot {\sqrt {|D|}}$ (הנורמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} שווה לגודל חוג המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathcal{O}_K/I} ). כאן n הוא הממד של K מעל שדה המספרים הרציונליים, 2s הוא מספר השיכונים המרוכבים של K, ו- D היא הדיסקרימיננטה של ההרחבה. לחסם זה יש תוצאות מרחיקות לכת, שהחשובה ביניהן היא העובדה שכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד.