משפט פיק

בדוגמה זו $i=7,b=8$ והשטח הוא 10. ואכן,
$7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$

הדגמה אינטואיטיבית למשפט: ניתן לראות שכל נקודה בפנים המצולע תופסת שטח של ריבוע, נקודות על השפה חצי ריבוע, וכך מכוסה שטח המצולע. מספר שטחים שהועברו לפינה תופסים שטח של ריבוע וחצי

משפט פיק הוא משפט גאומטרי שמספק נוסחה לחישוב שטח מצולע על מערכת צירים קרטזית, שקודקודיו נמצאים על נקודות בעלות קואורדינטות שלמות.

המשפט קובע שאם בפנים המצולע נמצאות $i$ נקודות ועל צלעותיו (כולל קודקודים) נמצאות $b$ נקודות, אז השטח $A$ הוא:

$A=i+{\frac {b}{2}}-1$

את המשפט גילה והוכיח גאורג פיק בשנת 1899. ניתן להראות שלא ניתן להכליל את המשפט לשלושה ממדים באמצעות ספירת הנקודות בתוך הפאון ועל פניו והשוואה לנפח שלו. עם זאת, ניתן להכליל לממד גבוה יותר באמצעות פולינום ארהרט. ניתן גם להכליל את הנוסחה לפני השטח של פאונים.

הוכחה

יהי $P$ מצולע כלשהו המקיים את תנאי המשפט, ו-$T$ משולש החולק צלע משותפת עם $P$ ונמצא מחוץ לו. נניח שמשפט פיק נכון עבור $P,T$ . אנחנו רוצים להוכיח שגם המצולע $P+T$ המתקבל מצירוף המשולש למצולע מקיים את משפט פיק. כיוון ש-$P,T$ חולקים צלע משותפת, כל הנקודות שהיו על צלע זאת הופכות להיות נקודות פנימיות במצולע החדש, מלבד הקצוות, שנשארות על השפה. אם נסמן את הנקודות שהיו על הצלע המשותפת ב-$c$ , נקבל:

${\begin{aligned}i_{PT}&=(i_{P}+i_{T})+(c-2)\\b_{PT}&=(b_{P}+b_{T})-2(c-2)-2\end{aligned}}$

ולכן

${\begin{aligned}(i_{P}+i_{T})&=i_{PT}-(c-2)\\(b_{P}+b_{T})&=b_{PT}+2(c-2)+2\end{aligned}}$

כיוון שהנחנו ש-$P,T$ מקיימים את משפט פיק, מקבלים:

${\begin{aligned}A_{PT}&=A_{P}+A_{T}\\&=\left(i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1\right)+\left(i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1\right)\\&=(i_{P}+i_{T})+{\frac {b_{P}+b_{T}}{2}}-2\\&=i_{PT}-(c-2)+{\frac {b_{PT}+2(c-2)+2}{2}}-2\\&=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1\end{aligned}}$

קיבלנו שאם המשפט נכון עבור מצולע בעל $n$ צלעות, הוא נכון גם עבור מצולע בעל $n+1$ צלעות. לכל מצולע ניתן לבצע טריאנגולציה, כלומר לחלק למשולשים. לכן, בעזרת אינדוקציה אפשר להראות שמספיק שהמשפט יהיה נכון למשולשים, בשביל שיהיה נכון לכל מצולע. נותר להוכיח את בסיס האינדוקציה – להראות שהמשפט נכון עבור משולשים:

• תחילה יש להראות שהמשפט נכון עבור מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים וקודקודיו על נקודות שלמות. ואכן, אם המלבן הזה הוא $m\times n$ , אז ישנן $2(m+n)$ נקודות על השפה שלו, ו-$(m-1)(n-1)$ נקודות בתוכו, ומתקיים: ${\frac {2(m+n)}{2}}+(m-1)(n-1)-1=m\cdot n$
• מכך נובע שהמשפט נכון עבור משולש ישר-זווית שצלעותיו מקבילות לצירים, שהרי ניתן לקבל אותם על ידי "גזירת" המלבן לאורך האלכסון
• כל משולש ניתן להפוך למלבן על ידי הצמדת משולשים ישרי זווית (מקסימום שלושה) בעלי צלעות מקבילות לצירים. כיוון שהמלבן, וכל המשולשים, מקיימים את המשפט, אז גם המשולש המקורי מקיים אותו.

שני השלבים האחרונים נבעו מכך שאם $PT$ הוא מצולע המקיים את משפט פיק, אז גם המצולע $P$ והמשולש $T$ שהרכיבו אותו מקיימים את משפט פיק. ניתן להראות זאת באותה דרך המוצגת לעיל.

קישורים חיצוניים

• משפט פיק