קבוצה קמורה

קבוצה קמורה

קבוצה לא קמורה

במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה. יחד עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה". קבוצה יכולה להיות קמורה או לא־קמורה.

הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות; הקמור הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.

לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.

הגדרה

תהי $C$ קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי. נאמר כי $C$ קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות $x_{1},x_{2}\in C$ ולכל $t\in [0,1]$ מתקיים $(1-t)x_{1}+tx_{2}\in C$ .

במרחבים נורמיים אפשר להכליל את מושג הקמירות לתכונה חזקה יותר. קבוצה $K$ במרחב נורמי נקראת $\sigma$־קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים חיוביים $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots =1$ ולכל סדרת נקודות $x_{1},x_{2},\ldots \in K$ מתקיים $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}\in K$ . כל קבוצה $\sigma$־קמורה היא קמורה.

קמירות במרחב מטרי

את מושג הקמירות ניתן להכליל לכל מרחב מטרי. קבוצה $C$ במרחב מטרי היא קמורה, אם כל שתי נקודות ניתן לחבר על ידי מסילה גאודזית (היינו תמונה איזומטרית של קטע) העוברת כולה ב־$C$ . מושג הקמירות הזה מכליל את ההגדרה הקודמת, משום שבמרחב נורמי ממשי מסילה גאודזית אינה אלא קטע. תכונה חלשה יותר נקראת קמירות מנגר (Menger), ודורשת רק שלכל שתי נקודות (שונות) $x_{1},x_{2}\in C$ תהיה קיימת נקודה $x_{3}\in C$ הנמצאת ביניהן (כלומר $d(x_{1},x_{3})+d(x_{3},x_{2})=d(x_{1},x_{2})$ , כאשר $d$ המטריקה של המרחב). קבוצה קמורה היא גם קמורת־מנגר, אבל לא להפך. עם זאת, במרחב מטרי שלם, המושגים מתלכדים.

מרחבי קמירות

בהינתן קבוצה $X$ ואוסף ${\mathcal {F}}$ של תתי-קבוצות של $X$ , נאמר שהזוג $(X,{\mathcal {F}})$ הוא מרחב קמירות אם מתקיים:

1. $\varnothing ,X\in {\mathcal {F}}$ .
2. חיתוך של אוסף כלשהו של איברים מ־${\mathcal {F}}$ נמצא ב־${\mathcal {F}}$ .
3. איחוד של שרשרת איברים מ־${\mathcal {F}}$ גם ב־${\mathcal {F}}$ .

לאיברים ב־${\mathcal {F}}$ קוראים קבוצות קמורות.

ראו גם

• פונקציה קמורה
• מצולע קמור
• קמור
• תחום כוכבי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצה קמורה בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0