משפט דקארט על פאונים

בגאומטריה, משפט דקארט על פאונים מבטא קשר מסוים בין מספר הקודקודים וסכום הזוויות המישוריות (זוויות פאה) בכל הפאות של פאונים מסוימים. במסגרת ניסוח המשפט, רנה דקארט הגדיר זווית מרחבית חיצונית בקודקוד של פאון כמידה שבה סכום זוויות הפאות הנפגשות באותו קודקוד קטן מארבע זוויות ישרות, כלומר כ-$2\pi$ פחות סכום זוויות הפאות הנפגשות באותו קודקוד, וטען ש-:

בדיוק כשם שבמצולע סכום הזוויות החיצוניות שווה לארבע זוויות ישרות, כך גם בפאון סכום הזוויות המרחביות החיצוניות שווה לשמונה זוויות ישרות.

המשפט תקף רק לפאונים הומיאומורפיים לספירה הדו-ממדית $\mathbb {S} ^{2}$. עבור פאונים טורואידיים, למשל, סכום הזוויות המרחביות החיצוניות (כאשר ניתן להן סימן מתאים) הוא אפס בדיוק.

דקארט ניסח משפט זה בפתיחת המסה שלו "חיבור אלמנטרי על פאונים" שנכתבה בין השנים 1619–1621, שעד שלהי המאה ה-19 נחשבה לחיבור אבוד – עותק של החיבור נמצא לבסוף רק בין כתבי לייבניץ. עד אז, הרעיונות העומדים ביסוד המשפט כבר נתגלו על ידי מתמטיקאים אחרים: לאונרד אוילר גילה את מאפיין אוילר ונוסחת אוילר, וקרל פרידריך גאוס גילה את משפט גאוס-בונה המכיל את משפט דקארט. מסיבה זאת, חיבורו של דקארט לא מילא תפקיד חשוב בהיסטוריה של המתמטיקה ולכן לעיתים מתייחסים למשפט זה כאל "המשפט האבוד" של דאקרט.

במסגרת התורה של הגאומטריה הדיפרנציאלית של משטחים, המשפט מובן כיום כמסקנה ממשפט גאוס-בונה – הוא מהווה גרסה בדידה של המשפט.

זווית מרחבית חיצונית כעקמומיות כוללת בקודקוד

קודקודי הפאון כנקודות בהן מתרכזת עקמומיות גאוס

הזווית המרחבית החיצונית בקודקוד היא למעשה בה המידה בה סוטה התנהגות המשטח מזו של מישור אוקלידי: עבור נקודה במישור אוקלידי הזווית המרחבית החיצונית בהכרח מתאפסת. עבור כל נקודה בפנים הפאות של פאון כלשהו, התנהגות הפאה היא מישורית ולכן עקמומיות המשטח, וגם הזווית המרחבית החיצונית, מתאפסות. נשים לב שמכיוון שפאון מכיל גם צלעות וקודקודים, שהם אזורים לא חלקים, קשה יותר להגדיר עקמומיות עבורם.

גאוס פיתח המשגה לעקמומיות של משטחים, שהיא שימושית גם עבור תיאור ההתנהגות של משטחים בנקודות אי-חלקות. מיפוי גאוס מתאים לכל נקודה על משטח נקודה על הספירה $\mathbb {S} ^{2}$, באופן כזה שווקטור הנורמל למשטח באותה נקודה מקביל לווקטור הנורמל בנקודה שהותאמה לו על הספירה. עקמומיות גאוס בנקודה מוגדרת אז כגבול של היחס בין שטח התמונה של סביבה אינפיניטסימלית של הנקודה במשטח תחת מיפוי גאוס, לשטח הסביבה המקורית. העקמומיות הכוללת של תחום מסוים של משטח מוגדרת כשטח התמונה של התחום תחת מיפוי גאוס; זהו מדד להתעקמות הכוללת של המשטח.

תחת מינוח זה, עקמומיות גאוס $K$ של פאון מתאפסת בכל מקום חוץ מאשר בקודקודיו. אילו נפעיל את מיפוי גאוס על פאון, נקבל וקטור נורמל יחיד עבור חלקה הפנימי של כל פאה (המתאים לנקודה בודדת על הספירה), שני נורמלים עבור צלע של הפאון – אחד לכל פאה המתחברת אל הצלע (המתאימים לשתי נקודות על הספירה, שביניהן מחבר מעגל גדול), ושלושה או יותר נורמלים עבור קודקוד – המתאימים למצולע כדורי כלשהו שלו שטח גדול מאפס.

לפיכך עקמומיות גאוס מרוכזת בקודקודים ומקבלת ערך אינסופי עליהן: ראיית פונקציית העקמומיות כפונקציה מוכללת או כמידה מאפשרת להגדיר את פונקציית העקמומיות של פאון בסביבת קודקוד p, כזווית מרחבית חיצונית, באופן הבא:

$(2\pi -\sum \alpha _{i})\delta _{p}$

כאשר $\delta _{p}$ היא פונקציית דלתא של דיראק המתאפסת בכל מקום פרט לקודקוד p.

הוכחת הנוסחה לעקמומיות הכוללת בקודקוד

העובדה שהעקמומיות היא פונקציה מוכללת ברורה, אך ההוכחה שהאינטגרל $\int _{p}KdA$ על סביבה המכילה את הקודקוד היא אכן הזווית המרחבית החיצונית שהגדיר דקארט, טעונה הוכחה. נספק כעת הוכחה עבור המקרה שבו בכל קודקוד של הפאון נפגשות שלוש פאות. הטיעון מוגבל אולם הרעיון הכללי שלו ניתן להכללה לכל פאון.

עבור כל קודקוד p של הפאון, נדמיין ספירה קטנה שמרכזה באותו קודקוד. שלוש הפאות הנפגשות בו יחתכו שלושה מעגלים גדולים מן הספירה, הנפגשים בשלוש נקודות המגדירות משולש כדורי. למשולש כדורי זה אורכי צלעות השווים לזוויות הפאות $\alpha ,\beta ,\gamma$ הנפגשות בקודקוד ("אורך הצלעות" כאן הוא אורך מנורמל על ידי רדיוס הספירה) וזוויות פנימיות השוות לזוויות הדיהדרליות של הצלעות הנפגשות באותו קודקוד. עבור משולש כדורי זה, נגדיר את המשולש הפולרי שלו כמשולש הכדורי שנוצר על ידי הקטבים המתאימים לאותם מעגלים גדולים עליהם נחות צלעות המשולש המקורי. לפי משפט ידוע בגאומטריה כדורית, זוויות המשולש הפולרי הן $\pi -\alpha ,\pi -\beta ,\pi -\gamma$ כלומר אורכי צלעות המשולש המקורי מגדירים את זוויות המשולש החדש. לפי משפט ז'יראר, שטחו של המשולש הפולרי הוא $(\pi -\alpha )+(\pi -\beta )+(\pi -\gamma )-\pi =2\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$. אולם המשולש הפולרי הוא בדיוק התמונה של סביבת הקודקוד p תחת מיפוי גאוס – הקטבים של צלעות המשולש הכדורי הם למעשה הנקודות בהן חותכים הנורמלים לפאות את הספירה שמרכזה ב-p – ולכן העקמומיות הכוללת בקודקוד היא למעשה הזווית המרחבית החיצונית שהגדיר דקארט.

משפט דקארט כמסקנה ממשפט גאוס-בונה

לפי משפט גאוס-בונה, העקמומיות הכוללת של משטח S היא $\int _{S}K\cdot dA=2\pi \chi$, כאשר $\chi$ הוא מאפיין אוילר של המשטח. משפט דקארט תקף לפאונים השקולים טופולוגית לספירה הדו-ממדית $\mathbb {S} ^{2}$. לספירה הדו-ממדית מציין אוילר $\chi =2$, ולכן לפי משפט גאוס-בונה העקמומיות הכוללת שלה היא $4\pi$, בהתאמה עם משפט דקארט.

דוגמאות

הזווית המרחבית החיצונית בכל אחד מעשרים קודקודיו של תריסרון משוכלל (שבו שלושה מחומשים משוכללים נפגשים בכל קודקוד) היא 36° או π/5 רדיאנים. לפיכך הזוויות המרחביות החיצוניות נסכמות ל-$20\cdot \pi /5=4\pi$ (או 720°).

אותו התהליך יכול להיות מיושם לפאונים המשוכללים האחרים. הטבלה להלן מסכמת את האפיון שלהם על פי משפט דקארט.

פאון	מספר קודקודים	מצולעים הנפגשים בכל קודקוד	זווית מרחבית חיצונית בכל קודקוד	סך הכל
ארבעון משוכלל	4	שלושה משולשים שווי צלעות	$\pi \ \ (180^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
תמניון משוכלל	6	ארבעה משולשים שווי צלעות	${2\pi \over 3}\ (120^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
קובייה	8	שלושה ריבועים	${\pi \over 2}\ \ (90^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
עשרימון משוכלל	12	חמישה משולשים שווי צלעות	${\pi \over 3}\ \ (60^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
תריסרון משוכלל	20	שלושה מחומשים משוכללים	${\pi \over 5}\ \ (36^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$

ראו גם

• משפט גאוס-בונה

קישורים חיצוניים

• Descartes's Lost Theorem
• משפט דקארט על פאונים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט דקארט על פאונים40810323Q2533936