משפט ז'יראר

בטריגונומטריה ספירית, משפט ז'יראר קובע שסכום הזוויות של משולש גאודזי על כדור סוטה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} סטייה חיובית שערכה פרופורציוני לשטח המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A}{r^2}} , או בניסוח שקול

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=(\alpha+\beta+\gamma-\pi)r^2}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} רדיוס הכדור.

את המשפט, שהוא המקרה הלא-טריוויאלי הפשוט ביותר של משפט גאוס-בונה, גילה והוכיח המתמטיקאי הצרפתי אלבר ז'יראר.

הוכחה

קובץ:Sftriangle.png

שלושת המעגלים הגדולים מחלקים את הכדור לשלושה זוגות של סהרונים

הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא להסתכל בהשלמה של המשולש הספירי, כלומר להסתכל לא רק על קשתות המעגלים הגדולים שמהוות את צלעות המשולש, אלא על כל ההיקף שלהם, כמומחש באיור. ניתן לראות שכל שני מעגלים גדולים נפגשים בשתי נקודות אנטיפודיות, ולכן יוצרים זוג של "רצועות כדוריות", אותם נכנה סהרונים (lunes). סהרונים אלו חופפים בחלקם, כאשר אזורי החפיפה הם שני העותקים של המשולש הכדורי. מיישום עקרונות החיתוך ואיחוד של קבוצות לצורך חישוב שטח ניתן לקבל אפוא ששטח הכדור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\pi r^2} שווה לסכום שטחי שלושת זוגות הסהרונים פחות ארבע פעמים שטח המשולש הכדורי. הסיבה לכך היא שכל סהרון מכיל את שטח המשולש הכדורי, בעוד יש שני משולשים כדוריים בלבד, לכן ספרנו את השטח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} של המשולש הכדורי 6 פעמים כאשר יש למנות אותו פעמיים בלבד, ומכאן מגיע המחוסר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4A} . כיוון שזווית הפתיחה של כל סהרון היא אחת מהזוויות הקודקודיות של המשולש הכדורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\beta,\gamma} , ניתן לקבל ששטח הסהרון פרופורציוני לזווית הקודקודית המתאימה לו ושווה במדויק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\theta}{2\pi}\cdot4\pi r^2=2\theta r^2} . מהצבת כל הקשרים האלו נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4(\alpha+\beta+\gamma)r^2-4A=4\pi r^2}

ומצמצום ב-4 והעברת אגפים נקבל את התוצאה המבוקשת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=(\alpha+\beta+\gamma-\pi)r^2}

ראו גם

• טריגונומטריה ספירית
• משפט גאוס-בונה

משפט_ז'יראר21075525Q31198085