גאומטריה ספירית

משולש בגאומטריה ספירית

גאומטריה ספֵירִית היא ענף בגאומטריה לא-אוקלידית, העוסק בתכונות של ישרים על ספירה, היינו מעטפת של כדור. כאשר רדיוס הכדור שואף לאינסוף מתקבלת הגאומטריה המישורית, האוקלידית.

בגאומטריה הספירית נקודה היא זוג נקודות אנטיפודיות על פני הספירה, והקוים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור (אלו הם הקוים הגאודזיים במטריקה הסטנדרטית של הספירה). משום כך, כל שני ישרים נחתכים, והגאומטריה אינה אוקלידית. היחס "בין", המשחק תפקיד מרכזי באקסיומטיקה של הילברט לגאומטריה האוקלידית, אינו קיים בגאומטריה הספירית.

השוואה לגאומטריה האוקלידית

על גבי מעטפת כדורית, סכום הזויות של המשולש יהיה גדול מ-180°. מעטפת הכדור איננה משטח אוקלידי, אף על פי כן ניתן להשתמש בחוקי הגאומטריה האוקלידית לקבלת הערכה. במשולש קטן אשר ממוקם על פני כדור הארץ, סכום הזויות קרוב מאד ל-180°. את מעטפת הכדור ניתן להציג על ידי אוסף של מפות דו-ממדיות

גאומטריה אוקלידית	גאומטריה ספירית
אקסיומת המקבילים: דרך כל נקודה עובר ישר אחד ויחיד המקביל לישר נתון.	כל שני ישרים נחתכים.
סכום הזוויות במשולש שווה ל-180°	סכום הזוויות במשולש גדול מ-180°
קיימים מלבנים.	לא קיימים מלבנים.
קיימים משולשים דומים שאינם חופפים	שני משולשים השווים בשלוש זוויותיהם הם חופפים.
לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.	היחס "בין" לא קיים.

שטח מצולע

כאמור, במשולש ספירי מתקיים: $\alpha +\beta +\gamma >180^{\circ }$ וברדיאנים: $\alpha +\beta +\gamma >\pi$ . ההפרש $E=\alpha +\beta +\gamma -\pi$ נקרא מגרעת המשולש. שטח המשולש נתון על ידי הנוסחה: $E\cdot R^{2}$ .

באופן כללי, אם נסמן את המגרעת של מצולע בעל $n$ צלעות:

$E=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}-(n-2)\pi$

כאשר $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ הן זוויות המצולע, אזי שטח המצולע שווה ל-$E\cdot R^{2}$ .

טריגונומטריה ספירית

ערך מורחב – טריגונומטריה ספירית

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה זו:

• משפט פיתגורס $\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)$
• משפט הקוסינוסים $\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos(\gamma )$
• משפט הסינוסים ${\frac {\sin \left({\tfrac {a}{R}}\right)}{\sin(\alpha )}}={\frac {\sin \left({\tfrac {b}{R}}\right)}{\sin(\beta )}}={\frac {\sin \left({\tfrac {c}{R}}\right)}{\sin(\gamma )}}$

הקשרים תרבותיים

בהלכה היהודית, ישנו חיוב להתפלל לכיוון ירושלים מכל מקום על פני כדור הארץ. לצורך זה מוזכרת בספרי הלכה הגאומטריה הספירית (או כפי שקרויה שם: גאומטריה כדורית), כאמצעי לחישוב זווית התפילה מכל מקום.

ניתן להשתמש בשיטה זו גם באסלאם, על מנת להתפלל לכיוון מכה.

קישורים חיצוניים

• משולש ספירי, באתר MathWorld (באנגלית)
• The Geometry of the Sphere
• Spherical Geometry