משפט פאפוס

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, אזי נפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה

V=2\pi R_{cm}A

כאשר

באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

דוגמה

נניח כי עלינו לחשב את נפח העקומה $(x-2)^{2}+4(y-1)^{2}=1$ המסובבת סביב הישר $$ y=3x-1 $$ . זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה $$ A $$ , אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא $A=\pi ab$ כאשר $$ a,b $$ הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה.

במקרה זה אורכי הצירים הם $$ a=1,b=0.5 $$ ולכן שטח האליפסה הוא $A={\frac {\pi }{2}}$ .

כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו $$ (2,1) $$ .

נרצה למצוא כעת את מרחק האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

d={\frac {|Ax+By+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}={\frac {|3x-y-1|}{\sqrt {1^{2}+3^{2}}}}={\frac {|3\times 2-1-1|}{\sqrt {10}}}\ \Rightarrow \ d={\frac {4}{\sqrt {10}}}

לסיום, כל שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:

V=2\pi \times {\frac {\pi }{2}}\times {\frac {4}{\sqrt {10}}}\ \Rightarrow \ V={\frac {2{\sqrt {10}}}{5}}\pi ^{2}

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.