מרחב נוצר קומפקטית

בטופולוגיה, מרחב נוצר קומפקטית (Compactly generated space) הוא מרחב טופולוגי שבו תת-הקבוצות קובעות את הטופולוגיה, באופן הבא: קבוצה היא סגורה אם ורק אם החיתוך שלה עם כל קבוצה קומפקטית הוא סגור. בדרך כלל מניחים גם כי המרחב הוא האוסדורף. קטגוריית המרחבים האוסדורף הנוצרים קומפקטית מסומנת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CG} . זוהי קטגוריה דיי גדולה ודיי נוחה; בתורת ההומוטופיה לעיתים מניחים כי המרחבים הם מקטגוריה זו.

תכונות

כל מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה וכל מרחב קומפקטי מקומית (ובפרט מרחב קומפקטי וגם מרחבי CW) הם מרחבים נוצרים קומפקטית. לכן, הקטגוריה $CG$ דיי רחבה, ומכילה אובייקטים מעניינים מתחומים שונים, כמו מטופולוגיה אלגברית ובפרט מתורת ההומוטופיה.

יש סגירות לתתי מרחבים מסוימים - אם $X\in CG$, אז גם כל תת-קבוצה סגורה וכל תת קבוצה פתוחה רגולרית (קבוצה בה לכל נקודה יש סביבה סגורה המוכלת בה). ראו בדוגמאות מקרה בו תת-מרחב כלשהו איננו נשאר בקטגוריה.

כדי שפונקציה ממרחב נוצר קומפקטית (למרחב האוסדורף) תהיה רציפה, מספיק לדרוש שתהיה רציפה על כל תת-קבוצה קומפקטית.

פעולות בקטגוריה

כמו במרחבים רגילים, נרצה להציג פעולות בין מרחבים בקטגוריה זו.

לכל מרחב האוסדורף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(X)} את המרחב מעל אותה קבוצה, אך בו קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא חותכת כל קבוצה קומפקטית בתוך קבוצה סגורה כלשהי. זהו פונקטור בין המרחבים האוסדורף למרחבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CG} ; הוא מהווה פונקטור ימני צמוד לפונקטור ההכלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CG \to H} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} - מרחבי האוסודורף).

זהו מרחב נוצר קומפקטית המכיל את המרחב הקודם, או במילים אחרות - פונקציית הזהות $id:K(X)\to X$ רציפה, ואם מלכתחילה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \in CG} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \cong K(X)} .

בעזרת פונקטור זה, מגדירים את המכפלה ומרחב הפונקציות בקטגוריה.

עבור המכפלה, נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \times Y := K(X \times Y)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times_c} היא המכפלה קרטזית הרגילה עם טופולוגיית המכפלה. המכפלה מקיימת את אותה התכונה האוניברסלית המקיימת המכפלה הרגילה (בקטגוריה הזו). המכפלה לא תמיד מתלכדת עם המכפלה הקטרזית, אך במקרה בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב קומפקטי מקומית ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y \in CG} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \times Y \cong X \times _c Y} .

נסמן ב-$C(X,Y)$ את מרחב הפונקציות הרציפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \to Y} , ונביט בו עם הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. את מרחב הפונקציות הרציפות בקטגוריה נגדיר בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y^X :=K(C(X,Y))} . פונקציית ההרכבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z^Y \times Y^X \to Z^X} היא רציפה, ובפרט כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יחידון אז פונקציית ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z^Y \times Y \to Z} רציפה.

מרחבים לא נוצרים קומפקטית

• המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{R},\tau_{coc})} , כלומר הממשיים עם הטופולוגיה הקו-מנייתית, איננו נוצר קומפקטית, אך גם לא האוסדורף.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^\mathbb{R}} (עם טופולוגיית המכפלה) הוא האוסדורף אך איננו נוצר קומפקטית.
• לא כל תת-מרחב של מרחב נוצר קומקפטית נשאר כזה - למשל, $[0,1]^{\mathbb {R} }$ הוא קומפקטי לפי משפט טיכונוף (והאוסדורף) ולכן נוצר קומפקטית; תת-המרחב המכיל איברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r_i)_{i \in \mathbb{R}}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_i \not\in \{0,1\}} איננו נוצר קומפקטית (אך כן האוסדורף).

לקריאה נוספת

• Brayton Gray, Homotopy theory, New York-London, 1975, An introduction to algebraic topology, p. 50-61