הטופולוגיה הקו-מנייתית

הטופולוגיה הקו-מנייתית (cocountable topology) על קבוצה נתונה היא הטופולוגיה בה הקבוצות הסגורות הן הקבוצות בנות המנייה (והקבוצה כולה). היא נקראת כך משום שקבוצה אשר משלימהּ הוא בן מנייה נקראת קבוצה קו-מנייתית (cocountable).

הגדרה

תהי $X$ קבוצה נתונה. נגדיר עליה את הטופולוגיה הבאה:

$T=\{A\subset X:|A^{c}|\leq \aleph _{0}\}\cup \{\phi \}$

זו אכן טופולוגיה; כדי להוכיח זאת, נוכיח את התכונות המקבילות על אוסף הקבוצות הסגורות: $T^{c}=\{A\subset X:|A|\leq \aleph _{0}\}\cup \{X\}$.

• הקבוצה כולה והקבוצה הריקה שם לפי הגדרה.
• חיתוך כלשהי של קבוצות בנות מנייה מוכל באחת מהן, ולכן אף הוא בן מנייה.
• איחוד מספר סופי של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה.

טופולוגיה זו מכלילה במובן מסוים את הטופולוגיה הקו-סופית, בה הקבוצות הסגורות הן הסופיות (והקבוצה כולה).

תכונות

כל קבוצה $X$ עם הטופולוגיה הקו-מנייתית היא לינדלוף (מרחב בו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן מנייה), אך איננה קומפקטית אלא אם $X$ סופית.

אם הקבוצה איננה בת מנייה, המרחב קשיר מסילתית ואף קשיר מסילתית מקומית.

המרחב מקיים את אקסיומת ההפרדה הראשונה, אך בדרך כלל איננו האוסדורף: זה קורה אם ורק אם $X$ עצמה בת מנייה, ואז הטופולוגיה היא דיסקרטית. בכל זאת, הגבולות של סדרות בה יחידים, שכן היא דיסקרטית סדרתית (כלומר, הסדרות היחידות המתכנסות בה הן הקבועות לבסוף).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

18791152הטופולוגיה הקו-מנייתית