הטופולוגיה הקו-מנייתית
הטופולוגיה הקו-מנייתית (cocountable topology) על קבוצה נתונה היא הטופולוגיה בה הקבוצות הסגורות הן הקבוצות בנות המנייה (והקבוצה כולה). היא נקראת כך משום שקבוצה אשר משלימהּ הוא בן מנייה נקראת קבוצה קו-מנייתית (cocountable).
הגדרה
תהי $ X $ קבוצה נתונה. נגדיר עליה את הטופולוגיה הבאה:
זו אכן טופולוגיה; כדי להוכיח זאת, נוכיח את התכונות המקבילות על אוסף הקבוצות הסגורות: $ T^{c}=\{A\subset X:|A|\leq \aleph _{0}\}\cup \{X\} $.
- הקבוצה כולה והקבוצה הריקה שם לפי הגדרה.
- חיתוך כלשהי של קבוצות בנות מנייה מוכל באחת מהן, ולכן אף הוא בן מנייה.
- איחוד מספר סופי של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה.
טופולוגיה זו מכלילה במובן מסוים את הטופולוגיה הקו-סופית, בה הקבוצות הסגורות הן הסופיות (והקבוצה כולה).
תכונות
כל קבוצה $ X $ עם הטופולוגיה הקו-מנייתית היא לינדלוף (מרחב בו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן מנייה), אך איננה קומפקטית אלא אם $ X $ סופית.
אם הקבוצה איננה בת מנייה, המרחב קשיר מסילתית ואף קשיר מסילתית מקומית.
המרחב מקיים את אקסיומת ההפרדה הראשונה, אך בדרך כלל איננו האוסדורף: זה קורה אם ורק אם $ X $ עצמה בת מנייה, ואז הטופולוגיה היא דיסקרטית. בכל זאת, הגבולות של סדרות בה יחידים, שכן היא דיסקרטית סדרתית (כלומר, הסדרות היחידות המתכנסות בה הן הקבועות לבסוף).
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] הטופולוגיה הקו-מנייתית18791152