הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה

הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (Compact-Open topology) היא טופולוגיה על מרחב הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי אחד לאחר. זו הטופולוגיה הסטנדרטית בתחומים שונים, כמו במרחבי פונקציות ובתורת ההומוטופיה, בפרט במרחבים נוצרים קומפקטית.

הגדרה

יהיו $X,Y$ שני מרחבים טופולוגיים. נסמן ב- $C(X,Y)$ את אוסף הפונקציות הרציפות ביניהם.

על קבוצה זו נגדיר תת בסיס לטופולוגיה בתור אוסף הקבוצות $\{f:X\to Y\mid f(C)\subset U\}$ , כאשר $C\subset X$ קומפקטית ו- $U\subset Y$ פתוחה. הטופולוגיה הנוצרת נקראת, כאמור, הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. (תת הבסיס בדרך כלל אינו בסיס לטופולוגיה).

אם $X$ מרחב האוסדורף, אז כדי לבנות תת-בסיס מספיק להתחיל מתת בסיס של $Y$ ; כלומר, אם $S_{0}$ תת-בסיס של $Y$ , אז $\{f:X\to Y\mid f(C)\subset U\}$ לכל $U\in S_{0}$ ו- $C\subset X$ קומפקטית, אף הוא תת-בסיס.

תכונות כלליות

לדוגמה, המרחב $C(\{a\},Y)$ הומיאומורפי ל- $Y$ .

אם $X,Y,Z$ מרחבים, כאשר $Y$ קומקפטי מקומית, אז פונקציית ההרכבה $C(Y,Z)\times C(X,Y)\to C(X,Z)$ היא רציפה. בפרט, אם $X$ הוא נקודון, אז העתקת ההצבה $e(f,x)=f(x)$ רציפה. טענה זו שימושית במיוחד בתורת המרחבים הנוצרים קומפקטית.

המרחב $C(X,Y)$ מקבל בירושה תכונות רבות של המרחב $Y$ . למשל, אם המרחב $Y$ מקיים את אחת מאקסיומות המנייה $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}}$ , גם $C(X,Y)$ מקיים אותה.

מרחב הפונקציות כאשר Y מטרי

בסעיף זה נניח ש- $Y$ מטרי, עם מטריקה d.

ההתכנסות בטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה שקולה לטופולוגיית ההתכנסות הקומפקטית^(אנ'). כלומר, סדרה של פונקציות $\ f_{n}:X\rightarrow Y$ מתכנסת תחת הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה אל הפונקציה $f:X\rightarrow Y$ , אם ורק אם $\ \sup _{x\in K}d(f_{n}(x),f(x))\rightarrow 0$ לכל תת-קבוצה קומפקטית $\,K\subset X$ (עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר, כאשר Y מרחב אוניפורמי ^(אנ')).

נניח כעת, בנוסף לכך ש-Y מטרי, גם ש-X קומפקטי. אז $C(X,Y)$ עצמו הוא מרחב מטרי, עם המטריקה $\ d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x))$ . בדומה לזה, אם Y מרחב נורמי, אז $C(X,Y)$ הוא מרחב נורמי (עם המטריקה שהוגדרה לעיל). המקרה המיוחד $\ Y=\mathbb {R}$ הוא בעל חשיבות מרכזית באנליזה פונקציונלית. משפט אסקולי-ארצלה קובע שעבור תת-קבוצה $\,F\subset C(X,\mathbb {R} )$ , הסגור ${\overline {F}}$ קומפקטי אם ורק אם הקבוצה חסומה במידה שווה ורציפה במידה אחידה.