מרחב בר (טופולוגיה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, מרחב בייר הוא מרחב טופולוגי שבו כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.

למרחבי בייר חשיבות רבה בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, זאת בעקבות משפט הקטגוריה של בייר הקובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הוא מרחב בייר. באמצעות מרחבים אלו ניתן להוכיח משפטים חשובים באנליזה פונקציונלית כגון משפט ההעתקה הפתוחה.

מרחב בייר נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בייר.

מונחים בסיסיים

עבור מרחב טופולוגי $X$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N\subseteq X} תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם הפנים של הסגור שלה ריק. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Int}(\operatorname{Cl}(N))=\emptyset} .

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq X} תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות. לעומת זאת, הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} תקרא קבוצה מקטגוריה שנייה אם ורק אם היא אינה קבוצה מקטגוריה ראשונה.

הגדרה מתמטית

מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} עם טופולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} ייקרא מרחב בייר אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.
2. כל חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות וצפופות צפוף גם כן.
3. לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
4. כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא קבוצה מקטגוריה שנייה.
5. המשלים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.

הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק שוקה

ניתן להגדיר את המונח מרחב בייר באמצעות המשחק הטופולוגי משחק שוקה. עבור מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , משחק שוקה משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה $U_{1}\subseteq X$ ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_2\subseteq U_1} . לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_3\subseteq U_2} ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_4\subseteq U_3} . המשחק נמשך עד לאינסוף כאשר לשני השחקנים אסור לבחור בקבוצה ריקה. אליס מנצחת את המשחק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty{U_n}\ne \emptyset} . אחרת, בוב מנצח.

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא מרחב בייר. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי מרחב בייר להיות מרחב טופולוגי שבו יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק שוקה.

דוגמאות

• ממשפט הקטגוריה של בייר נובע כי המרחבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} עם הטופולוגיה הסטנדרטית הם מרחבי בייר.
• הישר של סורגנפריי ומישור מור הם מרחבי בייר, זאת על אף שהם אינם מקיימים את משפט הקטגוריה של בייר.

קישורים חיצוניים

• מרחב בר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב בר (טופולוגיה)37956640Q1150180