הישר של סורגנפריי

בטופולוגיה, הישר של סורגנפריי (באנגלית: Sorgenfrey Line – על שם המתמטיקאי רוברט סורגנפריי) הוא מרחב טופולוגי שמוגדר על קבוצת הממשיים $\mathbb {R}$ , כך שקבוצה פתוחה במרחב היא איחוד של קטעים חצי־פתוחים בממשיים, מהצורה $[a,b)$ .

פורמלית, על הישר הממשי $\mathbb {R}$, מגדירים את אוסף תת־הקבוצות $T=\{{\underset {i\in I}{\cup }}[{a}_{i},{b}_{i})|{a}_{i},{b}_{i}\in \mathbb {R} ,i\in I\}$ . אוסף זה מהווה טופולוגיה על $\mathbb {R}$ .

תכונות

• בסיס לטופולוגיה זו הוא קבוצת כל הקטעים מהצורה הנ"ל, כלומר $\{[{a}_{i},{b}_{i})|{a}_{i},{b}_{i}\in {\mathbb {R} }\}$ .
• טופולוגיה זו מכילה ממש את הטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים. כלומר, כל קבוצה פתוחה לפי המטריקה הסטנדרטית, פתוחה גם לפי הישר של סורגנפריי, ויש קבוצות נוספות שאינן פתוחות בישר הסטנדרטי, כמו כל קטע חצי־פתוח $[a,b)$ .
• ההתכנסות בטופולוגיה זו שונה מההתכנסות בממשיים. כך למשל, בעוד שהסדרה $\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ מתכנסת ל־0, הסדרה $\left\{-{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ לא מתכנסת ל־0.
• כל קטע מהצורה $[a,b)$ או מהצורה $(-\infty ,a)$ הוא קבוצה סגורה ופתוחה. לכן, לטופולוגיה זו ממד 0.
• זהו מרחב בלתי קשיר לחלוטין.
• המרחב מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה, אך איננו מקיים את אקסיומת המנייה השנייה.
• כמסקנה מהתכונה האחרונה, המרחב הוא מרחב פרשה-אוריסון, כלומר מרחב בו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הרגיל.
• המרחב ספרבילי, למשל הרציונליים צפופים בו.
• המרחב לא־מטריזבילי, מפני שכל מרחב מטריזבילי וספרבילי גם מקיים את תכונת המנייה השנייה.
• המרחב מקיים את אקסיומת ההפרדה ${T}_{6}$ .

מרחב מכפלה

על ידי הכפלת מרחב זה בעצמו, ניתן לקבל מרחב מכפלה, השומר על חלק מהתכונות של המרחב המקורי, אך חלקן גם אובדות או נחלשות.

בפרט, אם מכפילים פעמיים, מקבלים את המישור של סורגנפריי. המרחב שמתקבל הוא דוגמה למרחב בו ספרביליות לא עוברת בירושה לתת־מרחבים – האלכסון ${\{(x,-x)\}}_{x\in R}$ הוא תת־מרחב לא־ספרבילי.

המכפלה היא גם דוגמה לכך שמכפלת מרחבים נורמליים אינה נורמלית בהכרח.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0