משפט ההעתקה הפתוחה

משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.

המשפט

יהי $A\colon X\to Y$ אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על $Y$ . אזי $A$ העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה $V\subset X$ תמונתה $A(V)$ היא קבוצה פתוחה ב- $Y$ .

הוכחת המשפט

מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב $X$ מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח $D$ שמרכזו נקודת האפס של $X$ , התמונה $A(D)$ היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- $0$ היא נקודת פנים של $A(D)$ (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).

כדי להראות ש- $0$ היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה $K$ היא נקודה $x$ המקיימת, לכל $y$ במרחב, קיים מספר חיובי $\alpha$ כך שקטע מהישר $[x,\alpha y)\subset [x,y)$ מוכל כולו ב- $K$ . היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.

כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:

משפט ליפשיץ: עבור קבוצה

\sigma

-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).

כעת, נוכיח ש- $0$ היא נקודת מרכז של $A(D)$ . בהינתן נקודה $y\in Y$ עלינו להראות שקיים קטע $\ [0,\alpha y)$ המוכל ב- $A(D)$ , עבור ערך $\alpha$ כלשהו. מאחר ש- $A$ על קיים $x\in X$ כך ש- $A(x)=y$ . מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה $\sigma$ -קמורה נובע ש- $0$ נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר $[0,A\alpha x)$ שמוכל כולו ב- $D$ . כעת, אם נפעיל את $A$ על הקטע נקבל ש- $[0,\alpha y)=[0,\alpha Ax)\subset A(D)$ (השוויון השמאלי נובע מהפעלת $A$ על $x$ ומליניאריות). לכן, $0$ היא נקודת מרכז של $A(D)$ וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן $A(D)$ קבוצה פתוחה.

מאחר שהראנו שההעתקה $A$ מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.

שימושים ומסקנות

משפט ההעתקה ההופכית: אם $A\colon X\to Y$ הוא אופרטור ליניארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי $A^{-1}$ הוא רציף גם כן.
משפט הגרף הסגור: אם $A\colon X\to Y$ הוא אופרטור ליניארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה $x_{n}\to 0$ ב- $X$ שמקיימת $Ax_{n}\to y$ נובע ש- $y=0$ ) אזי $A$ הוא גם אופרטור רציף.