משפט ההעתקה הפתוחה
משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.
המשפט
יהי $ A\colon X\to Y $ אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על $ Y $. אזי $ A $ העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה $ V\subset X $ תמונתה $ A(V) $ היא קבוצה פתוחה ב-$ Y $.
הוכחת המשפט
מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב $ X $ מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח $ D $ שמרכזו נקודת האפס של $ X $, התמונה $ A(D) $ היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש-$ 0 $ היא נקודת פנים של $ A(D) $ (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).
כדי להראות ש-$ 0 $ היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה $ K $ היא נקודה $ x $ המקיימת, לכל $ y $ במרחב, קיים מספר חיובי $ \alpha $ כך שקטע מהישר $ [x,\alpha y)\subset [x,y) $ מוכל כולו ב-$ K $. היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.
כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:
- משפט ליפשיץ: עבור קבוצה $ \sigma $-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).
כעת, נוכיח ש-$ 0 $ היא נקודת מרכז של $ A(D) $. בהינתן נקודה $ y\in Y $ עלינו להראות שקיים קטע $ \ [0,\alpha y) $ המוכל ב-$ A(D) $, עבור ערך $ \alpha $ כלשהו. מאחר ש-$ A $ על קיים $ x\in X $ כך ש-$ A(x)=y $. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה $ \sigma $-קמורה נובע ש-$ 0 $ נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר $ [0,A\alpha x) $ שמוכל כולו ב-$ D $. כעת, אם נפעיל את $ A $ על הקטע נקבל ש-$ [0,\alpha y)=[0,\alpha Ax)\subset A(D) $ (השוויון השמאלי נובע מהפעלת $ A $ על $ x $ ומליניאריות). לכן, $ 0 $ היא נקודת מרכז של $ A(D) $ וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן $ A(D) $ קבוצה פתוחה.
מאחר שהראנו שההעתקה $ A $ מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.
שימושים ומסקנות
- משפט ההעתקה ההופכית: אם $ A\colon X\to Y $ הוא אופרטור ליניארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי $ A^{-1} $ הוא רציף גם כן.
- משפט הגרף הסגור: אם $ A\colon X\to Y $ הוא אופרטור ליניארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה $ x_{n}\to 0 $ ב-$ X $ שמקיימת $ Ax_{n}\to y $ נובע ש-$ y=0 $) אזי $ A $ הוא גם אופרטור רציף.
ראו גם
משפט ההעתקה הפתוחה31024245