ממד האוסדורף

ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי. הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף. רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על ידי המתמטיקאי הקראי-רוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעיתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעיתים רחוקות יותר הוא קרוי "ממד פרקטלי".

רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי

באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא הממד הטופולוגי של הקבוצה. נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד מספר טבעי.

ממד טופולוגי מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון פרקטלים. לקבוצת קנטור, למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעלת ממד גבוה יותר. ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.

ממד האוסדורף

כדי להגדיר את ממד האוסדורף לקבוצה X, נתחשב תחילה במספר הכדורים, $\ N(r)$ , שרדיוסם אינו גדול מ-r, הנחוץ כדי לכסות את X לחלוטין. מובן שככל ש-r נעשה קטן יותר, (N(r גדל. באופן כללי, אם (N(r פרופורציונלי ל- $\ 1/r^{d}$ כאשר r שואף ל-0, אנו אומרים שלקבוצה X יש ממד d. למעשה, הגדרה פורמלית של ממד האוסדורף נעשית באופן עקיף. מתברר שממד האוסדורף מחדד את מושג הממד הטופולוגי, ומקשר אותו לתכונות נוספות של המרחב, כגון שטח ונפח.

הגדרה פורמלית

ניתן להגדיר את ממד האוסדורף במספר דרכים. להלן הגדרה באמצעות מידת האוסדורף.

יהי $(X,\rho )$ מרחב מטרי כלשהו.

עבור תת-קבוצה $U\subseteq X$ נגדיר את הקוטר של $\ U$ כך:

\mathrm {diam} (U):=\sup\{\rho (x,y)|x,y\in U\},\quad \mathrm {diam} (\emptyset ):=0

יהי $\ \delta >0$ , תהי $S\subseteq X$ תת-קבוצה כלשהי ויהי $\{U_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ כיסוי בן-מניה של $S$ , כלומר $S\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$

נאמר ש- $\{U_{i}\}$ הוא $\delta$ -כיסוי של $\ S$ אם לכל $i\in \mathbb {N}$ מתקיים : $\operatorname {diam} (U_{i})<\delta$

יהי $d\geq 0$ . לכל $S\subseteq X$ ולכל $\ \delta >0$ נגדיר

H_{\delta }^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (U_{i})^{d}{\Bigl |}\{U_{i}\}{\mbox{ is }}\delta {\mbox{-cover}}{\Bigr \}}

נשים-לב ש- $H_{\delta }^{d}(S)$ מונוטונית עולה ככל ש- $\delta$ קטנה (כי אז יש פחות כיסויים מותרים) לפיכך הגבול $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ קיים.

נגדיר את מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S כך:

H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)

וכעת נגדיר את ממד האוסדורף של S להיות:

\operatorname {dim} _{\mathrm {H} }(S):=\inf\{d\geq 0|H^{d}(S)=0\}

כאשר $\inf \emptyset =\infty$

כלומר ממד האוסדורף של הקבוצה S הוא החסם התחתון של כל ה-d-ים עבורם מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S היא אפס.

דוגמאות

למרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ ממד האוסדורף $\ n$ .
למעגל היחידה $\mathbb {S} ^{1}$ ממד האוסדורף 1.
לקבוצה בת-מניה ממד האוסדורף 0.
לקבוצת קנטור ממד האוסדורף $\ \ln {2}/\ln {3}$ .

ממד פרקטלי

ממד האוסדורף לרוב קשה מאוד לחישוב. עבור פרקטלים מסוימים ממד האוסדורף מתלכד עם הממד הפרקטלי. את הממד הפרקטלי קל יותר לחשב ולכן הוא שימושי יותר. נוסחת הממד הפרקטלי פועלת על פרקטל בעל תכונת הדמיון העצמי, שבה הפרקטל מורכב ממספר העתקים מוקטנים של עצמו. כלומר, אם נתמקד בחלק קטן של הפרקטל ונגדיל אותו בסקאלה המתאימה נקבל שוב את הפרקטל השלם.

הגדרה זו של הממד נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.

הגדרה

הממד הפרקטלי של S מוגדר להיות:

$d={\frac {{\mbox{log}}(m)}{{\mbox{log}}(r)}}=\log _{r}(m)$

כאשר:

r - גורם הכיווץ (כלומר פי כמה נצטרך להקטין את הפרקטל הגדול כדי לקבל עותק מוקטן שלו שמוכל בו).
m - מספר העותקים - הוא מספר העותקים של הפרקטל המוקטן פי r שמוכלים בפרקטל השלם.
d - זהו הממד הפרקטלי

דוגמאות

מהו הממד של ריבוע? כאשר מחלקים ריבוע להרבה ריבועים קטנים, אם אורך הצלע של הריבוע הקטן הוא $\ 1/r$ מאורך הצלע המקורית, אזי בריבוע הגדול יכנסו $\ r^{2}$ ריבועים קטנים. לכן: גורם הכיווץ הוא $\ r$ , מספר העותקים הוא $\ m=r^{2}$ והממד הפרקטלי הוא:

$\ d={\frac {\log {(r^{2})}}{\log {(r)}}}={\frac {2\log {(r)}}{\log {(r)}}}=2$

או

$\ d=\log _{r}({r^{2}})=2\log _{r}r=2$

נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.

קבוצת קנטור היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל פרקטל המוכל בקטע [0,1] בישר הממשי. מהו הממד של קבוצת קנטור?

בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם. לכן, באיטרציה ה N יש לנו $\ 2^{N}$ עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי $\ 3^{N}$ מהאורך המקורי. לכן,
$\ d={\frac {\log(2^{N})}{\log(3^{N})}}={\frac {N\log(2)}{N\log(3)}}={\frac {\log(2)}{\log(3)}}\approx 0.63$