מודל אלקטרונים כמעט חופשיים

בפיזיקה של מצב מוצק המודל של אלקטרונים כמעט חופשיים הוא מודל ממכניקת הקוונטים

מודל אלקטרונים כמעט חופשיים הוא מודל קוונטי בפיזיקה של מצב מוצק של תכונות של אלקטרונים היכולים לזוז באופן כמעט חופשי במבנה גבישי של מוצק. המודל לעיתים קרובות מתקשר לרעיון המופשט יותר של קירוב סריג ריק, המודל מסוגל לחישוב מבנה הפסים של מוצקים בעזרת ההנחה שהאלקטרונים נעים בתוך המוצק כמעט ללא הפרעה, מודל זה שימושי במיוחד לחישוב מבנה הפסים של מתכות.

המודל של אלקטרונים כמעט חופשיים הוא הרחבה מיידית של מודל אלקטרונים חופשיים, שבו החומר נתפס כגז אלקטרונים חסר אינטרקציה והאטומים הנייטרלים זניחים לגמרי.

הסבר מתמטי

המודל אומר שפונקציית הגל של האלקטרונים מתנהגת בקירוב כמו גל מישורי של חלקיק חופשי.

על פי משפט בלוך, בהינתן הפרעה בעלת פוטנציאל מחזורי (כמו זו של סריג), פתרון משוואת שרדינגר יינתן על ידי פונ' הגל:

$\psi _{\textbf {k}}({\vec {r}})=u_{\textbf {k}}({\vec {r}})e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

כאשר ל-$u_{\textbf {k}}$ יש את אותה מחזוריות כמו לגביש:

$u_{\textbf {k}}=u_{\textbf {k}}({\textbf {r}}+{\textbf {T}})$

(כאשר T הוא וקטור המעבר בין נקודות בגביש)

כלומר ניתן לראות שמה שמשתנה מבחינת האלקטרון בפאזה המקרו-סקופית, כלומר בלי להתייחס לערך המדוייק של $u_{\textbf {k}}$ (משום שהוא נקבע על פי המיקום בתוך התא בגביש), ניתן לראות שמה שמשתנה בפונ' הגל היא בעיקר הפאזה, כלומר, ברמה המקרו-סקופית האלקטרונים בגביש המחזורי מתנהגים כמו אלקטרונים חופשיים.

בגלל שהמודל קרוב למודל אלקטרונים חופשיים ניתן להניח:

$\psi _{\textbf {k}}({\textbf {r}})\approx {\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

כאשר Ω_r מייצג את הנפח של מצב של רדיוס r מתוקן (כפי שמיוצג בפרדוקס גיבס)

פונקציית הגל הנ"ל מוצבת במשוואת שרדינגר ומתקבלת המשוואה המרכזית.

פיתוח המשוואה המרכזית

ידועה לנו משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

באופן כללי ההמילטוניאן של אלקטרון שנמצא בפוטנציאל חשמלי:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}+U({\textbf {r}})$

על כן:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi +U\psi =E\psi$

מכיוון שניתן לתאר כל פונ' כסכום של גלים מישוריים על כן פונ' הגל תיכתב כסכום של גלים מישוריים (לחלופין ניתן להגיע למשוואה לצורה שמובאת להלן באמצעות משפט בלוך). בנוסף, כיוון שניתן להראות שכל פונ' בעלת המחזוריות של הגביש ניתן לכתוב כסכום בG (כפי שמובא להלן), נכתוב את האנרגיה פוטנציאלית של היונים בגביש גם כן כסכום:

$\psi ({\textbf {r}})=\sum _{\textbf {k}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}},U({\textbf {r}})=\sum _{\textbf {G}}U_{\textbf {G}}e^{i{\textbf {G}}\cdot {\textbf {r}}}$

נציב במשוואת שרדינגר ונקבל:

$\sum _{\textbf {k}}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}+\sum _{{\textbf {G}},{\textbf {k}}}U_{\textbf {G}}C_{\textbf {k}}e^{i({\textbf {G}}+{\textbf {k}})\cdot {\textbf {r}}}=\sum _{\textbf {k}}EC_{{\textbf {k}}'}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

עבור הסכימה השניה נגדיר:

${\textbf {k}}'\equiv {\textbf {G}}+{\textbf {k}}$

ונקבל:

$\sum _{\textbf {k}}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}+\sum _{{\textbf {G}},{\textbf {k}}'}U_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}'-{\textbf {G}}}e^{i{\textbf {k}}'\cdot {\textbf {r}}}=\sum _{\textbf {k}}EC_{{\textbf {k}}'}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

נעביר אגפים, ונקרא לאינדקס 'k בשם k:

$\sum _{\textbf {k}}\left[\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)C_{\textbf {k}}+\sum _{\textbf {G}}U_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}'-{\textbf {G}}}\right]e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}=0$

קיבלנו את המשוואה המרכזית:

$\forall {\textbf {k}}:(\lambda _{\textbf {k}}-\epsilon )C_{\textbf {k}}+\sum _{\textbf {G}}U_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}-{\textbf {G}}}=0$

כאשר הגדרנו את האנרגיה הקינטית להיות $\lambda _{\textbf {k}}$ ואת E החלפנו ב$\epsilon$.

כאשר פותרים את סט המשוואות הנ"ל (המיוצג במשוואה המרכזית) מקבלים את הגרף של פונ' רמות האנרגיה, כלומר, אנרגיה כפונ' של וקטור הגל k.

בד"כ פותרים את המשוואה המרכזית באמצעות קירובים כמו למשל קירוב סריג ריק.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מודל אלקטרונים כמעט חופשיים בוויקישיתוף

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33090102מודל אלקטרונים כמעט חופשיים